אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2026 מועד א – שאלה 1 סעיף א
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 1 סעיף א
סכום שברים
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:
121 · 3 + 223 · 5 + …
… + n2(2n − 1)(2n + 1)
= n(n + 1)2(2n + 1)
✏️ פתרון
סעיף א – הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל:
121 · 3 = 13
אגף ימין:
1 · 22 · 3 = 26 = 13 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
121 · 3 + … + k2(2k − 1)(2k + 1)
= k(k + 1)2(2k + 1)
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
האיבר האחרון בעבור n = k + 1: (k + 1)2(2k + 1)(2k + 3). ובאגף ימין 2(k + 1) + 1 = 2k + 3:
121 · 3 + … + (k + 1)2(2k + 1)(2k + 3)
= (k + 1)(k + 2)2(2k + 3)
נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה121 · 3 + … + k2(2k − 1)(2k + 1)= k(k + 1)2(2k + 1)
= k(k + 1)2(2k + 1) + (k + 1)2(2k + 1)(2k + 3)
נוציא גורם משותף k + 12k + 1:📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= k + 12k + 1 · (k2 + k + 12k + 3)
מכנה משותף בסוגריים, 2(2k + 3):
= k + 12k + 1 · k(2k + 3) + 2(k + 1)2(2k + 3)
= k + 12k + 1 · 2k2 + 5k + 22(2k + 3)
נפרק את המונה, ונבדוק בפתיחת סוגריים:📐 פתיחת סוגריים(2k + 1)(k + 2)= 2k2 + 4k + k + 2= 2k2 + 5k + 2
= k + 12k + 1 · (2k + 1)(k + 2)2(2k + 3)
נצמצם את (2k + 1):
= (k + 1)(k + 2)2(2k + 3) ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il