אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2025 מועד א – שאלה 1 סעיף א
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 1 סעיף א
סכום ריבועים של זוגיים
📄 נוסח השאלה
(1) הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:
22 + 42 + 62 + … + (2n)2
= 2n(n + 1)(2n + 1)3
(2) חשבו את הערך של הסכום: 42 + 62 + 82 + … + 1002.
✏️ פתרון
סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: 22 = 4. אגף ימין:
2 · 1 · 2 · 33 = 123 = 4 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
22 + 42 + … + (2k)2
= 2k(k + 1)(2k + 1)3
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
האיבר האחרון בעבור n = k + 1: (2k + 2)2.
22 + … + (2k)2 + (2k + 2)2
= 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3
נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה22 + … + (2k)2= 2k(k + 1)(2k + 1)3
= 2k(k + 1)(2k + 1)3 + (2k + 2)2
נשים לב: (2k + 2)2 = 4(k + 1)2.
נוציא גורם משותף 2(k + 1)3:📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= 2(k + 1)3 ·
[k(2k + 1) + 6(k + 1)]
= 2(k + 1)3 · (2k2 + 7k + 6)
נפרק, ונבדוק בפתיחת סוגריים:📐 פתיחת סוגריים(k + 2)(2k + 3)= 2k2 + 3k + 4k + 6= 2k2 + 7k + 6
= 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף א (2) – חישוב הסכום
100 = 2 · 50, ולכן 22 + 42 + … + 1002 הוא הסכום בעבור n = 50. בסכום שלנו חסר האיבר הראשון 22.
22 + … + 1002📐 הנוסחה מסעיף (1)22 + … + (2n)2= 2n(n + 1)(2n + 1)3
= 2 · 50 · 51 · 1013 = 171700
42 + … + 1002 = 171700 − 22
= 171700 − 4 = 171696
✅ פתרון סופי: 171696
📌 סיכום
| סעיף א (1) | הוכחה |
|---|---|
| סעיף א (2) | 171696 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il