אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 18: צעד בלי בסיס
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
הוכחה תקינה? – תרגיל 1: צעד בלי בסיס
📄 נוסח השאלה
לפניכם טענה: לכל n טבעי מתקיים
1 + 2 + … + n = n2 + n + 22
א. הוכיחו: אם הטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו, אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1.
ב. האם הטענה נכונה לכל n טבעי? נמקו.
✏️ פתרון
סעיף א – שלב הצעד
מניחים:
1 + 2 + … + k = k2 + k + 22
צריך להוכיח:
1 + … + k + (k + 1)
= (k + 1)2 + (k + 1) + 22
נציב את ההנחה באגף שמאל:📐 הנחת האינדוקציה1 + 2 + … + k = k2 + k + 22
= k2 + k + 22 + (k + 1)
= k2 + k + 2 + 2k + 22
= k2 + 3k + 42
נפתח את אגף ימין:📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(k + 1)2 + (k + 1) + 22
= k2 + 2k + 1 + k + 1 + 22
= k2 + 3k + 42 ✓
שני האגפים שווים, ולכן שלב הצעד מתקיים.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ב – האם הטענה נכונה?
נבדוק את שלב הבסיס, n = 1:📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל:
1
אגף ימין:
1 + 1 + 22 = 42 = 2
1 ≠ 2
הטענה לא נכונה כבר בעבור n = 1. שלב הצעד לבדו אינו הוכחה: הוא רק אומר שאם הטענה נכונה בעבור מספר כלשהו אז היא נכונה גם בעבור הבא – אבל אין מספר שממנו מתחילים.
(למעשה הסכום שווה ל־n(n + 1)2, ולכן אגף ימין גדול ממנו ב־1 לכל n.)
✅ פתרון סופי: לא. שלב הבסיס לא מתקיים (1 ≠ 2), ולכן הטענה אינה נכונה
📌 סיכום
| סעיף א | הצעד מתקיים |
|---|---|
| סעיף ב | לא נכונה – אין בסיס |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il