אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
חורף 2024 – שאלה 1 סעיף א
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2024, שאלה 1 סעיף א
סכום על מספרים זוגיים
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקצייה או בדרך אחרת שלכל n טבעי זוגי מתקיים:
48 + 144 + 288 + … + 6n(n + 2)
= n(n + 2)(n + 4)
✏️ פתרון
סעיף א – הוכחה באינדוקציה על הזוגיים
הטענה היא על n = 2, 4, 6, …. הבסיס n = 2, והצעד מ־k אל k + 2.
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 2📐 אינדוקציה על המספרים הזוגיים1. בסיס: בדיקה בעבור n = 22. הנחה: נכון בעבור n = k זוגי3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 24. מסקנה: נכון לכל n זוגי
אגף שמאל: 6 · 2 · 4 = 48. אגף ימין:
2 · 4 · 6 = 48 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k זוגי כלשהו:
48 + … + 6k(k + 2)
= k(k + 2)(k + 4)
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 2
צריך להוכיח:
האיבר החדש: 6(k + 2)(k + 4).
48 + … + 6k(k + 2)
+ 6(k + 2)(k + 4)
= (k + 2)(k + 4)(k + 6)
נציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה48 + … + 6k(k + 2)= k(k + 2)(k + 4)
= k(k + 2)(k + 4)
+ 6(k + 2)(k + 4)
נוציא גורם משותף (k + 2)(k + 4):📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= (k + 2)(k + 4)(k + 6) ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 2, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k זוגי אז היא נכונה גם בעבור n = k + 2. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי זוגי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il