אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2023 מועד א – שאלה 1 סעיף א
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 1 סעיף א
צעד בלי בסיס
📄 נוסח השאלה
נתונות שתי סדרות המוגדרות לכל n טבעי: an = 2n − 1, bn = 2n.
נסמן: Tn = a1b1 + a2b2 + … + anbn.
(1) הוכיחו כי: אם בעבור k טבעי כלשהו מתקיים Tk = (2k − 3) · 2k + 1, אז מתקיים Tk + 1 = (2k − 1) · 2k + 2.
לפניכם טענה: לכל n טבעי מתקיים Tn = (2n − 3) · 2n + 1.
(2) הסבירו מדוע טענה זו אינה נכונה.
✏️ פתרון
סעיף א (1) – אם… אז…
זה בדיוק שלב הצעד. Tk + 1 הוא Tk ועוד האיבר ak + 1bk + 1:
ak + 1 = 2(k + 1) − 1 = 2k + 1
bk + 1 = 2k + 1
לפי מה שנתון ב"אם":📐 הנחת האינדוקציהTk = (2k − 3) · 2k + 1
Tk + 1 = Tk + ak + 1bk + 1
= (2k − 3) · 2k + 1
+ (2k + 1) · 2k + 1
נוציא גורם משותף 2k + 1:📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= 2k + 1(2k − 3 + 2k + 1)
= 2k + 1(4k − 2)
= 2k + 1 · 2(2k − 1)
חוקי חזקות: 2 · 2k + 1 = 2k + 2:📐 חוקי חזקותam · an = am + n
= (2k − 1) · 2k + 2 ✓
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף א (2) – למה הטענה לא נכונה
נבדוק את שלב הבסיס, n = 1:📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
T1 = a1b1 = 1 · 2 = 2
(2 · 1 − 3) · 21 + 1
= (−1) · 4 = −4
2 ≠ −4
הטענה לא מתקיימת בעבור n = 1. בסעיף (1) הוכחנו רק את שלב הצעד, ובלי שלב הבסיס אין הוכחה באינדוקציה.
✅ פתרון סופי: הטענה אינה נכונה כבר בעבור n = 1: 2 ≠ −4
📌 סיכום
| סעיף א (1) | הוכחה (שלב הצעד) |
|---|---|
| סעיף א (2) | לא נכונה – הבסיס לא מתקיים |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il