אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
חורף 2026 – שאלה 2 סעיף ד
📌 שימו לב: בשאלה זו יש גם סעיפים על סדרות.
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2026, שאלה 2 סעיף ד
הוכחת סכום של סדרה
📄 נוסח השאלה
an היא סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שסכומה מתכנס. המנה של הסדרה היא q. נסמן ב־T את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים בסדרה, ונסמן ב־R את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה. נתון: T2R2 = 16.
א. מצאו את הערך של q.
נתונה סדרה bn שאיבריה מקיימים bn = 1 + qan · an + 1 לכל n טבעי. נתון: b1 = 1.
ב. מצאו את הערך של a1.
ג. הביעו את bn באמצעות n.
ד. הוכיחו באינדוקצייה או בכל דרך אחרת כי לכל n טבעי מתקיים:
b1 + b2 + … + bn = 16n − 115
בשיעור הזה פותרים את סעיף ד. בסעיף ג מצאנו: bn = 16n − 1 (הפתרון של סעיפים א–ג בקישור בסוף).
✏️ פתרון
סעיף ד – דרך א: הוכחה באינדוקציה
לפי סעיף ג bn = 16n − 1, ולכן צריך להוכיח:
1 + 16 + … + 16n − 1 = 16n − 115
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: b1 = 160 = 1. אגף ימין:
16 − 115 = 1515 = 1 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
b1 + … + bk = 16k − 115
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
האיבר האחרון בעבור n = k + 1: bk + 1 = 16k.
b1 + … + bk + 16k = 16k + 1 − 115
נציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציהb1 + … + bk = 16k − 115
= 16k − 115 + 16k
מכנה משותף 15:
= 16k − 1 + 15 · 16k15
= 16 · 16k − 115
לפי חוקי חזקות 16 · 16k = 16k + 1:📐 חוקי חזקותam · an = am + n
= 16k + 1 − 115 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ד – דרך ב: נוסחת הסכום של סדרה הנדסית
bn = 16n − 1 היא סדרה הנדסית: האיבר הראשון b1 = 1 והמנה 16.
b1 + … + bn📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
= 1 · (16n − 1)16 − 1
= 16n − 115 ✓
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| דרך א | הוכחה |
|---|---|
| דרך ב | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il