אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 6: סכום על המספרים הזוגיים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
תרגיל 6 – אינדוקציה על המספרים הזוגיים
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי זוגי מתקיים:
22 + 42 + … + n2 = n(n + 1)(n + 2)6
✏️ פתרון
הוכחה באינדוקציה
הטענה היא רק על מספרים זוגיים: n = 2, 4, 6, …. לכן הבסיס הוא n = 2, והצעד הוא מ־k אל המספר הזוגי הבא k + 2.
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 2📐 אינדוקציה על המספרים הזוגיים1. בסיס: בדיקה בעבור n = 22. הנחה: נכון בעבור n = k זוגי3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 24. מסקנה: נכון לכל n זוגי
אגף שמאל: איבר אחד, 22 = 4.
אגף ימין:
2 · 3 · 46 = 246 = 4 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k זוגי כלשהו:
22 + 42 + … + k2
= k(k + 1)(k + 2)6
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 2
צריך להוכיח:
22 + … + k2 + (k + 2)2
= (k + 2)(k + 3)(k + 4)6
נציב את ההנחה במקום הסכום עד k2:📐 הנחת האינדוקציה22 + … + k2= k(k + 1)(k + 2)6
= k(k + 1)(k + 2)6 + (k + 2)2
נוציא גורם משותף k + 26:📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= k + 26 · [k(k + 1) + 6(k + 2)]
= k + 26 · (k2 + 7k + 12)
נפרק לגורמים, ונבדוק בפתיחת סוגריים:📐 פתיחת סוגריים(k + 3)(k + 4)= k2 + 4k + 3k + 12= k2 + 7k + 12
k2 + 7k + 12 = (k + 3)(k + 4)
= (k + 2)(k + 3)(k + 4)6 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 2, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k זוגי אז היא נכונה גם בעבור n = k + 2. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי זוגי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il