אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 16: שתי הצגות של אותה סדרה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
סדרות – תרגיל 3: שתי הצגות של אותה סדרה
📄 נוסח השאלה
נתונות שתי סדרות: an = n2 + 2n, והסדרה bn המוגדרת על ידי b1 = 3, bn + 1 = bn + 2n + 3.
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים: an = bn.
✏️ פתרון
הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
a1 = 12 + 2 · 1 = 3
b1 = 3
a1 = b1 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
bk = ak = k2 + 2k
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
bk + 1 = ak + 1
נחשב את ak + 1 לפי הנוסחה:📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
ak + 1 = (k + 1)2 + 2(k + 1)
= k2 + 2k + 1 + 2k + 2
= k2 + 4k + 3
נחשב את bk + 1 לפי כלל הנסיגה:📐 כלל הנסיגהbk + 1 = bk + 2k + 3
bk + 1 = bk + 2k + 3
נציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציהbk = k2 + 2k
= k2 + 2k + 2k + 3
= k2 + 4k + 3
bk + 1 = ak + 1 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓ – שתי ההצגות מתארות את אותה סדרה
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il