אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 10: הביטוי n² + n מתחלק ב־2
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
התחלקות – תרגיל 1: מתחלק ב־2
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי הביטוי n2 + n מתחלק ב־2 ללא שארית.
✏️ פתרון
הוכחה באינדוקציה
מה צריך להראות:📐 מתחלק ללא שאריתהביטוי מתחלק ב־d ללא שאריתאם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
12 + 1 = 2 = 2 · 1 ✓
מתחלק ב־2.
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
הביטוי k2 + k מתחלק ב־2, כלומר יש מספר שלם m כך ש:
k2 + k = 2m
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
הביטוי (k + 1)2 + (k + 1) מתחלק ב־2.
נפתח סוגריים:📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(k + 1)2 + (k + 1)
= k2 + 2k + 1 + k + 1
נסדר כך שיופיע הביטוי מההנחה:
= (k2 + k) + 2k + 2
נציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציהk2 + k = 2m
= 2m + 2k + 2
= 2(m + k + 1) ✓
m + k + 1 הוא מספר שלם, ולכן הביטוי מתחלק ב־2.
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il