אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2020 מועד א (ניסוי 035581) – שאלה 1 סעיף א
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2020 מועד א׳ · שאלון ניסוי 035581
שאלה 1 סעיף א – התחלקות ב־4
📄 נוסח השאלה
הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת שהביטוי 5n − 1 מתחלק ב־4 ללא שארית לכל n טבעי.
✏️ פתרון
סעיף א – הוכחה באינדוקציה
מה צריך להראות:📐 מתחלק ללא שאריתהביטוי מתחלק ב־d ללא שאריתאם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
51 − 1 = 4 = 4 · 1 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
5k − 1 = 4m
כאשר m שלם. מכאן:
5k = 4m + 1
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
הביטוי 5k + 1 − 1 מתחלק ב־4.
נפרק את החזקה:📐 חוקי חזקותak + 1 = a · ak
5k + 1 − 1 = 5 · 5k − 1
נציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה5k = 4m + 1
= 5(4m + 1) − 1
= 20m + 5 − 1 = 20m + 4
= 4(5m + 1) ✓
5m + 1 שלם, ולכן מתחלק ב־4.
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il