אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 19: דוגמאות אינן הוכחה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
הוכחה תקינה? – תרגיל 2: דוגמאות אינן הוכחה
📄 נוסח השאלה
נתונות שתי סדרות: a1 = 2, an + 1 = 2an וגם b1 = 2, bn + 1 = bn + 2n.
א. חשבו את ארבעת האיברים הראשונים בכל סדרה.
ב. דני אמר: "שלושת האיברים הראשונים שווים, ולכן an = bn לכל n טבעי". האם דני צודק? נמקו.
✏️ פתרון
סעיף א – ארבעה איברים
בסדרה an כל איבר כפול מקודמו:📐 כלל הנסיגהan + 1 = 2an
a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, a4 = 16
בסדרה bn מוסיפים 2n:📐 כלל הנסיגהbn + 1 = bn + 2n
b2 = b1 + 2 · 1 = 4
b3 = b2 + 2 · 2 = 8
b4 = b3 + 2 · 3 = 14
✅ פתרון סופי: 2, 4, 8, 16 וגם 2, 4, 8, 14
סעיף ב – האם דני צודק?
a4 = 16 ≠ 14 = b4
דני לא צודק. בדיקה של כמה מקרים (גם הרבה מקרים) אינה הוכחה. כדי להוכיח טענה לכל n צריך גם בסיס וגם צעד – ואת שלב הצעד כאן אי אפשר להוכיח, כי כבר a4 ≠ b4.
✅ פתרון סופי: לא, כי a4 ≠ b4
📌 סיכום
| סעיף א | a: 2, 4, 8, 16 · b: 2, 4, 8, 14 |
|---|---|
| סעיף ב | לא – a4 ≠ b4 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il