אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2022 מועד א – שאלה 1 סעיף א
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 1 סעיף א
התחלקות ב־3
📄 נוסח השאלה
(1) בעבור כל n טבעי, הוכיחו באינדוקצייה או בדרך אחרת כי הביטוי 4n − 1 מתחלק ב־3 ללא שארית.
(2) נתון: p הוא מספר שלם. כתבו דוגמה לערך של p שבעבורו הביטוי 4n + 1 + p מתחלק ב־12 ללא שארית, לכל n טבעי.
✏️ פתרון
סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה
מה צריך להראות:📐 מתחלק ללא שאריתהביטוי מתחלק ב־d ללא שאריתאם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
41 − 1 = 3 = 3 · 1 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
4k − 1 = 3m
כאשר m שלם. מכאן:
4k = 3m + 1
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
הביטוי 4k + 1 − 1 מתחלק ב־3.
4k + 1 − 1 = 4 · 4k − 1📐 חוקי חזקותak + 1 = a · ak
נציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה4k = 3m + 1
= 4(3m + 1) − 1
= 12m + 4 − 1 = 12m + 3
= 3(4m + 1) ✓
4m + 1 שלם, ולכן מתחלק ב־3.
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף א (2) – דוגמה ל־p
נכתוב את הביטוי כך שיופיע 4n − 1 מסעיף (1):
4n + 1 + p = 4 · 4n + p
= 4(4n − 1) + 4 + p
לפי סעיף (1), 4n − 1 = 3m:📐 סעיף (1)4n − 1 = 3m
= 4 · 3m + 4 + p = 12m + (4 + p)
12m מתחלק ב־12. לכן מספיק ש־4 + p יתחלק ב־12. למשל 4 + p = 12:
p = 8
בדיקה: n = 1: 42 + 8 = 24 = 12 · 2 ✓.
✅ פתרון סופי: למשל p = 8
📌 סיכום
| סעיף א (1) | הוכחה |
|---|---|
| סעיף א (2) | p = 8 (דוגמה) |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il