אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2025 מועד ב – שאלה 1 סעיף א
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 1 סעיף א
סכום עם חזקות של 3
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:
23 + 69 + 1027 + … + 4n − 23n
= 2 − 2n + 23n
✏️ פתרון
סעיף א – הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: 23. אגף ימין:
2 − 43 = 6 − 43 = 23 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
23 + … + 4k − 23k = 2 − 2k + 23k
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
האיבר האחרון בעבור n = k + 1: 4(k + 1) − 23k + 1 = 4k + 23k + 1. ובאגף ימין 2(k + 1) + 2 = 2k + 4:
23 + … + 4k + 23k + 1
= 2 − 2k + 43k + 1
נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה23 + … + 4k − 23k = 2 − 2k + 23k
= 2 − 2k + 23k + 4k + 23k + 1
מכנה משותף 3k + 1, כי 3k + 1 = 3 · 3k:📐 חוקי חזקותam · an = am + n
= 2 − 3(2k + 2) − (4k + 2)3k + 1
= 2 − 6k + 6 − 4k − 23k + 1
= 2 − 2k + 43k + 1 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il