אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2024 מועד א – שאלה 1 סעיף א
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 1 סעיף א
סכום עם איבר ריבועי
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל n טבעי:
4 + 13 + … + 5n2 + 3n2
= n(n + 1)(5n + 7)6
✏️ פתרון
סעיף א – הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל:
5 + 32 = 4
אגף ימין:
1 · 2 · 126 = 246 = 4 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
4 + 13 + … + 5k2 + 3k2
= k(k + 1)(5k + 7)6
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
האיבר האחרון בעבור n = k + 1 (נוציא גורם משותף (k + 1)):
5(k + 1)2 + 3(k + 1)2
= (k + 1)(5k + 8)2
ובאגף ימין 5(k + 1) + 7 = 5k + 12. צריך להוכיח:
4 + … + (k + 1)(5k + 8)2
= (k + 1)(k + 2)(5k + 12)6
נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה4 + … + 5k2 + 3k2= k(k + 1)(5k + 7)6
= k(k + 1)(5k + 7)6 + (k + 1)(5k + 8)2
נוציא גורם משותף k + 16:📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= k + 16 · [k(5k + 7) + 3(5k + 8)]
= k + 16 · (5k2 + 22k + 24)
נפרק, ונבדוק בפתיחת סוגריים:📐 פתיחת סוגריים(k + 2)(5k + 12)= 5k2 + 12k + 10k + 24= 5k2 + 22k + 24
= (k + 1)(k + 2)(5k + 12)6 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il