בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2024 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בארבעה פרקים: פרק ראשון – שאלות קצרות (שאלה 1, עונים בה על שניים מן הסעיפים א–ד); פרק שני – סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 4 שאלות: לפחות שאלה אחת מן הפרק הראשון או השני, ולפחות שאלה אחת מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי. 25 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: ארבע שעות וחצי. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה יחידה (במועד זה פורסם מפתח אחד)

📄 השאלון המלא – קיץ 2024 מועד א'

שאלון 571 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות

📄 נוסח השאלה

בשאלה זו ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל n טבעי:

4 + 13 + … + 5n2 + 3n2 =
= n(n + 1)(5n + 7)6

ב. נתונות הפונקציות f(x) , f′(x) ו־f″(x), המוגדרות לכל x ≠ 0. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה f″(x). לגרף הפונקציה f″(x) יש שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה־x, ושיעוריהן הם (a , 0) , (b , 0) , (d , 0). הנקודה (c , e) היא נקודת הקיצון של הפונקציה f″(x).

גרף הנגזרת השנייה בסעיף ב מתוך השאלון

(1) הביעו באמצעות a , b , c , d , e, אם יש צורך, את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת f′(x).

נתונה הפונקציה h(x), המקיימת: h′(x) = f″(x) − e. הפונקציה h(x) מוגדרת לכל x ≠ 0.

(2) מצאו כמה נקודות קיצון וכמה נקודות פיתול יש לפונקציה h(x) (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של הפונקציה f(x) (פרבולה). לגרף הפונקציה f(x) יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ה־x: (−5 , 0) ו־(5 , 0). הנקודה (0 , −3) היא נקודת המינימום של הפונקציה.

גרף הפרבולה בסעיף ג מתוך השאלון

נתונות הפונקציות h(x) = |f(x)| + m ו־g(x) = |f(x) + m|. m הוא פרמטר, 0 < m < 2. בתשובותיכם השתמשו ב־m, אם יש צורך.

(1) מצאו את שיעורי נקודת המקסימום של הפונקציה g(x).

(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה h(x), וקבעו את סוגן.

(3) קבעו אם הטענות I ו־II שלפניכם נכונות. נמקו את קביעותיכם.

I. בעבור כל ערך של m בתחום 0 < m < 2, שתי הפונקציות h(x) ו־g(x) חיוביות לכל x.

II. בעבור כל ערך של m בתחום 0 < m < 2, הישר y = m + 12 חותך את גרף הפונקציה h(x) ואת גרף הפונקציה g(x) בשלוש נקודות בדיוק.

ד. המרובע ABCD חסום במעגל. AD הוא קוטר במעגל. F היא נקודה על המשך הצלע CB, כך ש־FB ⊥ FA (ראו סרטוט).

סרטוט סעיף ד מתוך השאלון

(1) הוכיחו: △ACD ∼ △AFB.

נתון: ∢BDA = 24 מעלות. (2) מצאו את היחס בין שטח המשולש ACD ובין שטח המשולש AFB.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

האיבר הכללי: ak = 5k2 + 3k2. בדיקה: a1 = 82 = 4, a2 = 262 = 13.
שלב 1 – בדיקה עבור n = 1:📐 שיטהשיטה: הוכחה באינדוקציה – בדיקה עבור n = 1, הנחה עבור n = k, הוכחה עבור n = k + 1
אגף שמאל: 4
אגף ימין: 1 · 2 · 126 = 4
שלב 2 – הנחה עבור n = k:
4 + 13 + … + 5k2 + 3k2
= k(k + 1)(5k + 7)6
שלב 3 – נוכיח עבור n = k + 1. האיבר הבא:
5(k + 1)2 + 3(k + 1)2
= (k + 1)(5k + 5 + 3)2
= (k + 1)(5k + 8)2
צריך להוכיח שהסכום שווה ל־(k + 1)(k + 2)(5k + 12)6. לפי ההנחה:
אגף שמאל = k(k + 1)(5k + 7)6
+ (k + 1)(5k + 8)2
מכנה משותף 6 וגורם משותף (k + 1):
= (k + 1)[k(5k + 7) + 3(5k + 8)]6
= (k + 1)(5k2 + 22k + 24)6
נפרק את הטרינום: 5k2 + 22k + 24 = (k + 2)(5k + 12) (בדיקה: 5k2 + 12k + 10k + 24).
= (k + 1)(k + 2)(5k + 12)6
= אגף ימין
(אגף ימין עבור n = k + 1: 5(k + 1) + 7 = 5k + 12.) לפי עקרון האינדוקציה, השוויון נכון לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: השוויון הוכח לכל n טבעי.

סעיף ב – גרף הנגזרת השנייה

(1) עלייה וירידה של f′
f′ עולה כאשר f″ > 0, ויורדת כאשר f″ < 0.📐 משפטקשר בין פונקציה לנגזרת שלה – הנגזרת של f′ היא f″
מהגרף: f″ > 0 (הגרף מעל ציר ה־x) כאשר x < a וכאשר b < x < d. f″ < 0 כאשר a < x < 0, 0 < x < b וכאשר x > d.
✅ פתרון סופי: עלייה: x < a , b < x < d
ירידה: a < x < 0 , 0 < x < b , x > d
(2) קיצון ופיתול של h
נקודות קיצון של h: צריך ש־h′ = f″ − e יתאפס ויחליף סימן, כלומר נקודות שבהן גרף f″ חוצה את הישר y = e.
בענף הימני (x > 0) הערך הגדול ביותר של f″ הוא e (בנקודה x = c). שם f″ − e ≤ 0 משני הצדדים – הישר רק "נוגע", אין החלפת סימן, ולכן אין קיצון ב־x = c.
בענף השמאלי f″ יורדת מ־+∞ ל־−∞ (עוברת דרך (a , 0)), ולכן היא חוצה את הישר y = e בדיוק פעם אחת (ב־x < a, כי e > 0). שם h′ עובר מחיובי לשלילי – יש נקודת קיצון אחת.
נקודות פיתול של h: h″ = f‴ – כלומר צריך נקודה שבה f″ מחליפה כיוון (קיצון של f″). רק ב־x = c: שם f″ עוברת מעלייה לירידה, ולכן h″ מחליפה סימן – נקודת פיתול אחת. בענף השמאלי f″ יורדת כל הזמן – אין שם פיתול.
✅ פתרון סופי: נקודת קיצון אחת ונקודת פיתול אחת

סעיף ג – ערך מוחלט של פרבולה

(1) מקסימום של g
f(x) + m היא הפרבולה מוזזת m יחידות למעלה: המינימום שלה (0 , m − 3). כי m < 2, מתקיים m − 3 < 0 – המינימום מתחת לציר ה־x.
סקיצה 1 – קודם הגרף של f (כחול) ושל f(x) + m (תכלת, מקווקו), לדוגמה m = 1:
xy(−5 , 0)(5 , 0)(0 , −3)(0 , m − 3)
מהסקיצה: בין שתי נקודות החיתוך של f(x) + m עם ציר ה־x הגרף מתחת לציר.
הערך המוחלט "הופך" את החלק שמתחת לציר: המינימום (0 , m − 3) הופך למקסימום (0 , 3 − m).📐 משפטגרף של |f(x)| – החלקים שמתחת לציר ה־x משתקפים מעליו
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 3 − m)
(2) קיצון של h
לגרף |f(x)|: החלק שבין −5 ל־5 (מתחת לציר) משתקף למעלה, ולכן יש לו מקסימום (0 , 3) ומינימומים (±5 , 0) (נקודות "חדות" על הציר).
h(x) = |f(x)| + m – הזזה של m יחידות למעלה:
מקסימום: (0 , 3 + m)
מינימום: (5 , m) , (−5 , m)
סקיצה 2 – אחרי הערך המוחלט: h (כחול) ו־g (סגול), לדוגמה m = 1. את נקודות הקיצון קוראים מהגרף:
xy(0 , 3 + m)(0 , 3 − m)(5 , m)(−5 , m)
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 3 + m)
מינימום (±5 , m)
(3) הטענות
טענה I: h(x) ≥ 0 + m > 0 לכל x – נכון עבור h. אבל g(x) = |f(x) + m| מתאפסת כאשר f(x) = −m; כי −3 < −m < 0 יש לכך פתרונות (שני ערכי x). שם g = 0, לא חיובית. לכן טענה I לא נכונה.
טענה II: לגרף h מינימומים בגובה m ומקסימום בגובה 3 + m. הישר y = m + 0.5 נמצא ביניהם, ולכן הוא חותך את גרף h בארבע נקודות (שתיים ליד כל מינימום). לכן טענה II לא נכונה.
✅ פתרון סופי: I לא נכונה; II לא נכונה

סעיף ד – מרובע חסום במעגל

(1) דמיון
∢ACD = 90 מעלות📐 משפטזווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
∢AFB = 90 מעלות (נתון)
∢ABF = ∢ADC📐 משפטבמרובע חסום במעגל, זווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה – ∢ABF חיצונית למרובע ליד ∢ABC, ו־∢ADC מול ∢ABC
△ACD ∼ △AFB, בהתאמה A ↔ A , C ↔ F , D ↔ B.📐 משפטמשפט דמיון ז.ז.
✅ פתרון סופי: הוכח
(2) יחס השטחים
יחס הדמיון הוא יחס היתרים ADAB.
∢ABD = 90 מעלות📐 משפטזווית היקפית הנשענת על קוטר – AD קוטר
sin∢BDA = ABAD ⇐ ADAB = 1sin24📐 נוסחה: sin במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
SACDSAFB = (ADAB)2📐 נוסחה: יחס שטחים של משולשים דומיםיחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
= 1sin224 ≈ 10.1654 ≈ 6.045
✅ פתרון סופי: SACDSAFB ≈ 6.045

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אהוכחה
סעיף ב (1)עלייה: x < a , b < x < d
ירידה: a < x < 0 , 0 < x < b , x > d
סעיף ב (2)קיצון אחד, פיתול אחד
סעיף ג (1)מקסימום (0 , 3 − m)
סעיף ג (2)מקסימום (0 , 3 + m)
מינימום (±5 , m)
סעיף ג (3)I ו־II לא נכונות
סעיף ד (1)הוכחה
סעיף ד (2)≈ 6.045
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 75 – מציאת פיתול בהינתן גרף הנגזרת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרות הנדסיות

📄 נוסח השאלה

הסדרה A היא סדרה הנדסית שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , …, ומנתה היא q, −1 < q < 0. נתון: a1 = 1.

הסדרה B מוגדרת לכל n טבעי באופן הזה: bn = an · an+2.

א. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, והביעו את מנתה באמצעות q.

ב. לפניכם שלוש טענות I–III. קבעו עבור כל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם.

I. הסדרה A לא עולה ולא יורדת. II. הסדרה B היא סדרה עולה. III. האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה A יוצרים סדרה עולה.

נתון: הסדרה B היא סדרה אין־סופית שסכומה הוא 18. ג. מצאו את ערכו של q.

נתונה סדרה הנדסית נוספת C, המוגדרת לכל n טבעי באופן הזה: cn = anbn. נתון: c3 + c4 + … + cm = 44,307, m הוא מספר טבעי.

ד. מצאו את הערך של m.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הסדרה B

an+1 = q · an📐 נוסחה: מנה בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
bn+1bn = an+1 · an+3an · an+2 = an+1an · an+3an+2
= q · q = q2
המנה קבועה, ולכן B סדרה הנדסית עם מנה q2.
✅ פתרון סופי: B הנדסית, המנה q2

סעיף ב – שלוש טענות

I: q < 0, ולכן סימני האיברים מתחלפים: a1 = 1 > 0, a2 = q < 0, a3 = q2 > 0… הסדרה עולה ויורדת לסירוגין – לא עולה ולא יורדת. נכונה.
II: b1 = a1 · a3 = q2 > 0, והמנה q2 מקיימת 0 < q2 < 1. סדרה עם איברים חיוביים ומנה בין 0 ל־1 היא יורדת. לא נכונה.
III: האיברים במקומות הזוגיים: a2 , a4 , … = q , q3 , … – סדרה הנדסית עם איבר ראשון q < 0 ומנה q2 (0 < q2 < 1). האיברים שליליים והערך המוחלט שלהם קטן, כלומר הם מתקרבים ל־0 מלמטה – הסדרה עולה. נכונה.
✅ פתרון סופי: I נכונה; II לא נכונה; III נכונה

סעיף ג – מציאת q

SB = b11 − q2 = q21 − q2📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q
q21 − q2 = 18
8q2 = 1 − q2
q2 = 19 ⇐ q = ±13
נתון −1 < q < 0, ולכן q = −13.
✅ פתרון סופי: q = −13

סעיף ד – מציאת m

cn = anan · an+2 = 1an+2
an+2 = qn+1 = (−13)n+1 ⇐ cn📐 נוסחה: האיבר הכלליan = a1 · qn−1
= (−3)n+1
הסדרה C: מנה −3, ו־c3 = (−3)4 = 81. מ־c3 עד cm יש m − 2 איברים:
81((−3)m−2 − 1)−3 − 1 = 44,307📐 נוסחה: סכום n איברים בסדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
(−3)m−2 − 1 = 44,307 · (−4)81
= −2188
(−3)m−2 = −2187 = (−3)7
m − 2 = 7 ⇐ m = 9
✅ פתרון סופי: m = 9

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה; המנה q2
סעיף בI נכונה, II לא נכונה, III נכונה
סעיף גq = −13
סעיף דm = 9
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות – חידון

📄 נוסח השאלה

בחידון יש 5 שאלות. ההסתברות לענות נכון על כל אחת מן השאלות היא P. ידוע כי ההסתברות שמתמודד בחידון יענה נכון על 4 שאלות לכל היותר היא 0.83193.

א. מצאו את P.

ב. מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יענה נכון על 3 שאלות בדיוק.

מספר הנקודות הניתן לכל שאלה זהה למספר השאלה. כלומר מתמודד שענה נכון על שאלה 1 מקבל נקודה אחת, מתמודד שענה נכון על שאלה 2 מקבל שתי נקודות, וכן הלאה.

ג. מצאו את ההסתברות שמתמודד יצבור 14 נקודות לפחות.

ד. מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יצבור 6 נקודות בדיוק.

ה. ידוע כי אחינועם ענתה נכון על 3 שאלות בדיוק. מצאו את ההסתברות שהיא צברה 6 נקודות בדיוק.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מציאת P

"לכל היותר 4" הוא המשלים של "כל 5 נכונות":
1 − P5 = 0.83193📐 נוסחה: מאורע משליםP(A') = 1 − P(A)
P5 = 0.16807 ⇐ P = 5√0.16807
= 0.7
✅ פתרון סופי: P = 0.7

סעיף ב – בדיוק 3 תשובות נכונות

P(X = 3)📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) = (n מעל k) ·
· pk · (1 − p)n − k
= (5 מעל 3) · 0.73 · 0.32
= 10 · 0.343 · 0.09 = 0.3087
✅ פתרון סופי: 0.3087

סעיף ג – לפחות 14 נקודות

הסכום המקסימלי הוא 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. 14 נקודות לפחות: 15 (כל השאלות) או 14 (כולן חוץ משאלה 1). בשני המקרים שאלות 2–5 נכונות, ושאלה 1 – לא משנה:
P = 0.74 = 0.2401📐 נוסחה: מכפלת הסתברויות של מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
✅ פתרון סופי: 0.2401

סעיף ד – בדיוק 6 נקודות

נמצא את כל הצירופים של מספרי שאלות שונים שסכומם 6: {1 , 5}, {2 , 4}, {1 , 2 , 3}.
בכל צירוף, השאלות שבו נכונות והשאר לא נכונות:
{1 , 5}: 0.72 · 0.33 = 0.01323
{2 , 4}: 0.72 · 0.33 = 0.01323
{1 , 2 , 3}: 0.73 · 0.32
= 0.03087
P = 0.01323 + 0.01323 + 0.03087
= 0.05733
✅ פתרון סופי: 0.05733

סעיף ה – הסתברות מותנית

מבין הצירופים של 3 שאלות, רק {1 , 2 , 3} נותן 6 נקודות.
P = 0.030870.3087 = 0.1📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
(הסבר נוסף: כל 10 הצירופים של 3 שאלות שוות הסתברות, ורק אחד מהם נותן 6 נקודות: 110.)
✅ פתרון סופי: 110

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אP = 0.7
סעיף ב0.3087
סעיף ג0.2401
סעיף ד0.05733
סעיף ה110
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – ברנולי
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה – מרובע חסום ומשיק

📄 נוסח השאלה

המרובע ABCD חסום במעגל. אלכסוני המרובע נחתכים בנקודה F. המשיק למעגל בנקודה C חותך את המשך המיתר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: AB = CB.

סרטוט שאלה 4 מתוך השאלון

א. הוכיחו: ∢EBC = 2 · ∢BDC.

נתון: AC חוצה את זווית ECD, CDCF = 74.

ב. (1) הוכיחו: AC = AD. (2) מצאו את היחס ADCD. (3) מצאו את היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש CBF.

נסמן את שטח המשולש ABF ב־S. ג. הביעו באמצעות S את שטח המשולש AEC.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הוכחה

∢BAC = ∢BCA📐 משפטבמשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות – AB = CB
∢BDC = ∢BAC📐 משפטזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות – הקשת BC
∢EBC = ∢BAC + ∢BCA📐 משפטזווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה – במשולש ABC
∢EBC = 2 · ∢BAC = 2 · ∢BDC
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – חוצה הזווית

(1) AC = AD
∢ECA = ∢ACD (AC חוצה זווית)
∢ECA = ∢ADC📐 משפטהזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני – המשיק EC והמיתר CA
∢ACD = ∢ADC
במשולש ACD שתי זוויות שוות, ולכן AC = AD.📐 משפטמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
✅ פתרון סופי: הוכח
(2) היחס AD : CD
AB = CB, ולכן גם הקשתות AB ו־BC שוות, וההיקפיות הנשענות עליהן שוות:
∢ADB = ∢BDC, כלומר DF חוצה את הזווית ADC במשולש ACD.📐 משפטמיתרים שווים – זוויות היקפיות שוות
AFFC = ADDC📐 נוסחה: משפט חוצה הזוויתחוצה זווית מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה
נסמן CD = 7t, ואז CF = 4t. נסמן ADCD = r, כלומר AD = 7rt, וגם AC = AD = 7rt:
AF = AC − FC = 7rt − 4t
7rt − 4t4t = r
7r − 4 = 4r ⇐ r = 43
✅ פתרון סופי: ADCD = 43
(3) יחס השטחים
למשולשים ABF ו־CBF אותו גובה מ־B לישר AC:
SABFSCBF = AFFC = ADDC = 43📐 נוסחה: משולשים עם גובה משותףיחס השטחים שווה ליחס הבסיסים
✅ פתרון סופי: SABFSCBF = 43

סעיף ג – שטח המשולש AEC

SCBF = 34S ⇐ SABC = S + 34S = 74S
△EBC ∼ △ECA: הזווית E משותפת, ו־∢ECB = ∢CAB📐 משפטזווית בין משיק למיתר = זווית היקפית; משפט דמיון ז.ז.
יחס הדמיון הוא BCCA. נחשב אותו בעזרת זוויות. נסמן ∢ACD = ∢ADC = x. במשולש שווה השוקיים ACD נוריד גובה מ־A ל־CD (הוא חוצה את CD):
cos x = CD/2AC📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
(עם CD = 3s , AD = AC = 4s: cos x = 1.5s4s = 38.) DB חוצה את ∢ADC, ולכן ∢BCA = ∢BDA = x2. במשולש שווה השוקיים ABC נוריד גובה מ־B ל־AC:
cosx2 = AC/2BC ⇐ BCCA = 12cos(x/2)📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
cos2x2 = 1 + cos x2 = 1116📐 נוסחה: זווית כפולהcos(2y) = 2cos2y − 1
(BCCA)2 = 14 · 1116 = 411
SEBCSECA = 411📐 נוסחה: יחס שטחים של משולשים דומיםריבוע יחס הדמיון
SABC = SAEC − SEBC = 711SAEC
711SAEC = 74S ⇐ SAEC = 114S = 2.75S
ABCDEF
✅ פתרון סופי: SAEC = 114S = 2.75S

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכחה
סעיף ב (1)הוכחה
סעיף ב (2)ADCD = 43
סעיף ב (3)43
סעיף גSAEC = 2.75S
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטרייה – תיכון ומעגלים חוסמים

📄 נוסח השאלה

במשולש ABC, BD הוא תיכון לצלע AC. הנקודה E נמצאת על הצלע BC. הקטעים AE ו־BD נחתכים בנקודה P (ראו סרטוט). נתון: BP = 3 · PD.

סרטוט שאלה 5 מתוך השאלון

את הזוויות ABP ו־BAP מסמנים בשאלון באותיות; כאן נכתוב ∢ABP ו־∢BAP. נתון: AB = k, ∢BAP < ∢ABP.

א. הביעו את AP ואת BP באמצעות ∢BAP, ∢ABP ו־k.

נתון: AE ⊥ BD, ושטח המשולש ABD הוא k24. ב. מצאו את ∢BAP.

ג. מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEB.

ד. מצאו את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC, כך שמתקיים ∢ABC = 90 מעלות. הביעו באמצעות k.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – AP ו־BP

∢APB = 180 − (∢BAP + ∢ABP)
APsin∢ABP = BPsin∢BAP📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C
= ksin(180 − (∢BAP + ∢ABP))
sin(180 − (∢BAP + ∢ABP))📐 נוסחה: זוויות משלימותsin(180 − x) = sin x
= sin(∢BAP + ∢ABP)
AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP)
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)
✅ פתרון סופי: AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP)
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)

סעיף ב – גודל הזווית

AE ⊥ BD, ולכן ∢APB = 90 מעלות ו־∢BAP + ∢ABP = 90. אז sin(∢BAP + ∢ABP) = 1 ו־sin∢ABP = cos∢BAP:
AP = k · cos∢BAP , BP
= k · sin∢BAP
BD = BP + PD = BP + BP3 = 43BP
= 43k · sin∢BAP
AP ⊥ BD, ולכן AP הוא הגובה מ־A לצלע BD במשולש ABD:
SABD = ½ · BD · AP = ½ · 43k📐 נוסחה: שטח משולשS = בסיס · גובה2
· sin∢BAP · k · cos∢BAP
23k2 sin∢BAP cos∢BAP = k24
sin∢BAP cos∢BAP = 38
sin(2∢BAP) = 2 · 38 = 0.75📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2sin x cos x
2∢BAP ≈ 48.59 או 2∢BAP ≈ 131.41
∢BAP ≈ 24.3 או ∢BAP ≈ 65.7
∢BAP < ∢ABP ו־∢BAP + ∢ABP = 90, ולכן ∢BAP < 45: ∢BAP ≈ 24.3 מעלות.
✅ פתרון סופי: ∢BAP ≈ 24.3 מעלות

סעיף ג – יחס הרדיוסים

RAEC = AC2sin∢AEC , RAEB = AB2sin∢AEB📐 נוסחה: משפט הסינוסים (רדיוס המעגל החוסם)asin∢A = 2R
sin∢AEC = sin∢AEB📐 נוסחה: זוויות צמודותsin(180 − x) = sin x
RAECRAEB = ACAB = ACk
נחשב את AC: D אמצע AC, ולכן AC = 2AD. במשולש ישר הזווית APD:
AP = k · cos24.3 ≈ 0.9114k
PD = BP3 = k · sin24.33 ≈ 0.1371k
AD = √AP2 + PD2📐 נוסחה: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
AD ≈ √0.8306 + 0.0188 · k
AD ≈ 0.9216k
AC = 2AD ≈ 1.843k
RAECRAEB ≈ 1.843
ABCDEP
✅ פתרון סופי: RAECRAEB ≈ 1.843

סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם את AEC

הערה: בסעיף זה משתמשים בנתונים BP = 3PD ו־AE ⊥ BD יחד עם ∢ABC = 90 (נתון השטח מסעיף ב לא מתיישב עם זווית ישרה ב־B, ולכן לא משתמשים בו כאן).
נסמן PD = t, אז BP = 3t, ו־AP = h. D אמצע AC, ולכן C נמצאת במרחק 2t מהישר AE בצד של D, ובמרחק h מתחת לישר BD (סימטרייה סביב D).
נשתמש בזווית ∢ABC = 90: במשולש ישר הזווית ABP, ∢ABP = 90 − ∢BAP, ולכן ∢PBC = ∢BAP. מהמשולש ABP: tan∢BAP = BPAP = 3th.
מהנקודה C נוריד אנך לישר BD: הרגל שלו נמצאת במרחק 3t + 2t = 5t מ־B, וגובהו h. לכן tan∢PBC = h5t.
3th = h5t ⇐ h2 = 15t2 ⇐ h = √15t
k2 = AB2 = (3t)2 + h2 = 24t2 ⇐ t📐 נוסחה: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
= k√24
AC = 2AD = 2√t2 + h2 = 2√16t2📐 נוסחה: משפט פיתגורס במשולש APD
= 8t
E על BC ועל הישר AP: מדמיון המשולשים BPE ו־(המשולש שיוצר האנך מ־C), PE = 35h. במשולש ישר הזווית שבין E, C והאנך מ־C לישר AE: הניצבים 2t ו־25h:
EC = √4t2 + 425 · 15t2 = √6.4t
sin∢AEC = 2t√6.4t = 2√6.4
RAEC = AC2sin∢AEC = 8t · √6.44📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin∢A = 2R
= 2√6.4t
RAEC = 2√6.4 · k√24
= 4k√15 ≈ 1.033k
✅ פתרון סופי: RAEC = 4k√15 ≈ 1.033k

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אAP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP)
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)
סעיף ב∢BAP ≈ 24.3 מעלות
סעיף ג≈ 1.843
סעיף ד4k√15 ≈ 1.033k
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית ופונקציה קדומה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה: f(x) = 4x(x2 − a)2, a הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א–ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות a אם יש צורך.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x). (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

g(x) היא פונקציה המקיימת g′(x) = f(x). גרף הפונקציה g(x) עובר בנקודה (0 , 0). הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום.

ג. מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה g(x).

ד. (1) מצאו פונקציה g(x) המקיימת תנאים אלו. (2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x) שמצאתם בתת־סעיף ד(1).

h(x) היא פונקציה המוגדרת כך: h(x) = f(x) · g(x). הפונקציות f(x) ו־h(x) מוגדרות באותו התחום.

ה. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה h(x). (2) מצאו את תחומי החיוביות של הפונקציה h(x).

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – חקירת f

(1) המכנה לא יכול להיות 0:
x2 − a ≠ 0 ⇐ x ≠ ±√a
(2) אסימפטוטות:
x = √a ו־x = −√a – המכנה מתאפס והמונה לא.📐 משפטאסימפטוטה אנכית – המכנה מתאפס והמונה שונה מ־0
y = 0 – מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (4).📐 משפטאסימפטוטה אופקית – מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה ⇐ y = 0
(3) הנגזרת:
f′(x)📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 4(x2 − a)2 − 4x · 2(x2 − a) · 2x(x2 − a)4
= 4[(x2 − a) − 4x2](x2 − a)3 = −4(3x2 + a)(x2 − a)3
המונה −4(3x2 + a) תמיד שלילי.
המכנה (x2 − a)3 שלילי כאשר −√a < x < √a, וחיובי כאשר x < −√a או x > √a.
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד חיובית ב־−√a < x < √a (עלייה), ותמיד שלילית ב־x < −√a וב־x > √a (ירידה).
✅ פתרון סופי: תחום: x ≠ ±√a
אסימפטוטות: x = ±√a , y = 0
עלייה: −√a < x < √a; ירידה: x < −√a , x > √a

סעיף ב – סקיצה של f

f(−x) = −f(x) – הפונקציה אי־זוגית, הגרף עובר בראשית. משמאל ל־x = −√a: מתחת לציר ויורדת ל־−∞. בין האסימפטוטות: עולה מ־−∞ ל־+∞. מימין ל־x = √a: מעל הציר ויורדת אל 0.
xyx = −√ax = √a(0 , 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – קעירות של g

g″(x) = f′(x): g קעורה כלפי מעלה כאשר f′ > 0, וכלפי מטה כאשר f′ < 0.📐 משפטקעירות וסימן הנגזרת השנייה – g″ > 0 ⇐ קעורה כלפי מעלה
מסעיף א(3): כלפי מעלה – −√a < x < √a; כלפי מטה – x < −√a , x > √a.
✅ פתרון סופי: כלפי מעלה: −√a < x < √a
כלפי מטה: x < −√a , x > √a

סעיף ד – הפונקציה g

(1) מציאת g
g(x) = ∫4x(x2 − a)−2 dx📐 נוסחה: אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית∫f′(x)[f(x)]n dx = [f(x)]n+1n + 1 + C
= 2 · (x2 − a)−1−1 + C
= −2(x2 − a) + C
(הנגזרת של x2 − a היא 2x, ולכן 4x = 2 · 2x.) הגרף עובר ב־(0 , 0):
0 = −2−a + C ⇐ C = −2a
g(x) = −2(x2 − a) − 2a
✅ פתרון סופי: g(x) = −2(x2 − a) − 2a
(2) סקיצה
g זוגית, g(0) = 0. אסימפטוטות: x = ±√a ו־y = −2a. בקטע האמצעי g יורדת ואז עולה (כי g′ = f שלילית ואז חיובית) – מינימום (0 , 0), ושואפת ל־+∞ ליד האסימפטוטות. בענפים החיצוניים g שואפת ל־−∞ ליד האסימפטוטות, ומתקרבת ל־y = −2a מלמטה.
xyx = −√ax = √ay = −2/a(0 , 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – הפונקציה h

(1) אסימפטוטות
אסימפטוטות אנכיות: x = ±√a (שם f ו־g שואפות לאינסוף). כש־x → ±∞: f → 0 ו־g → −2a, ולכן h = f · g → 0:
x = ±√a , y = 0
✅ פתרון סופי: x = ±√a , y = 0
(2) תחומי חיוביות
סימן f כסימן x (המכנה תמיד חיובי). סימן g: בקטע האמצעי g ≥ 0 (מינימום 0 ב־x = 0); בענפים החיצוניים g < −2a < 0.
h > 0 כאשר ל־f ול־g אותו סימן: בקטע האמצעי – 0 < x < √a (שם f > 0 , g > 0); בענפים החיצוניים – x < −√a (שם f < 0 , g < 0).
✅ פתרון סופי: x < −√a , 0 < x < √a

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)x ≠ ±√a
סעיף א (2)x = ±√a , y = 0
סעיף א (3)עלייה: −√a < x < √a
ירידה: x < −√a , x > √a
סעיף בסקיצה
סעיף גכלפי מעלה: −√a < x < √a
כלפי מטה: x < −√a , x > √a
סעיף ד (1)g(x) = −2(x2 − a) − 2a
סעיף ד (2)סקיצה
סעיף ה (1)x = ±√a , y = 0
סעיף ה (2)x < −√a , 0 < x < √a
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 63 – חקירת מנה עם פרמטר
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – פונקציה טריגונומטרית עם שורש

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = cos x − √cos x, בתחום −π ≤ x ≤ π.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) הראו כי הפונקציה f(x) היא פונקציה זוגית. (3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (4) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן (בתשובותיכם דייקו 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ג. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

ד. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).

הגרפים I עד IV בשאלה 7 מתוך השאלון

נתונה הפונקציה g(x) = k − f(x), k הוא פרמטר חיובי. הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום. נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום בין 0 ל־π2.

נתון כי השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות f(x) ו־g(x) ועל ידי הישרים x = π2 ו־x = −π2 הוא 10 · S. ה. הביעו את k באמצעות S.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – חקירה

(1) הביטוי בתוך השורש אי־שלילי: cos x ≥ 0. בתחום הנתון:
−π2 ≤ x ≤ π2
(2) התחום סימטרי, ו־:
f(−x) = cos(−x) − √cos(−x)📐 נוסחה: זוגיות של coscos(−x) = cos x
= cos x − √cos x = f(x)
(3) חיתוך עם הצירים:
cos x = √cos x ⇐ cos2x = cos x
⇐ cos x(cos x − 1) = 0
cos x = 0 ⇐ x = ±π2
cos x = 1 ⇐ x = 0
נקודות החיתוך: (0 , 0), (π2 , 0), (−π2 , 0). (חיתוך עם ציר ה־y: f(0) = 1 − 1 = 0.)
(4) נגזרת:
f′(x) = −sin x − −sin x2√cos x📐 נוסחה: נגזרת של שורש(√u)′ = u′2√u
= sin x (12√cos x − 1)
sin x = 0 ⇐ x = 0
12√cos x = 1 ⇐ √cos x = 12
⇐ cos x = 14
x = ±1.32 (≈ ±0.42π)
f(±1.32) = 14 − 12 = −0.25
f(0) = 0 , f(±π2) = 0
סימן f′ ב־x > 0: בין 0 ל־1.32: cos x > 14, ולכן 12√cos x < 1 ו־f′ < 0 – יורדת. בין 1.32 ל־π2: f′ > 0 – עולה. מהזוגיות – התמונה הפוכה ב־x < 0.
לכן: מקסימום (0 , 0); מינימום (±1.32 , −0.25); מקסימום קצה (±π2 , 0).
✅ פתרון סופי: תחום: −π2 ≤ x ≤ π2
חיתוך: (0 , 0) , (±π2 , 0)
מקסימום (0 , 0), מינימום (±1.32 , −0.25), מקסימום קצה (±π2 , 0)

סעיף ב – סקיצה

xy(1.32 , −0.25)(−1.32 , −0.25)π/2−π/2(0 , 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – חיוביות ושליליות

0 ≤ cos x ≤ 1, ולכן cos x ≤ √cos x (מספר בין 0 ל־1 קטן או שווה לשורש שלו). כלומר f(x) ≤ 0 בכל התחום, ושווה ל־0 רק ב־x = 0 , ±π2.
חיוביות: אין. שליליות: −π2 < x < 0 , 0 < x < π2.
✅ פתרון סופי: חיוביות: אין; שליליות: −π2 < x < 0 , 0 < x < π2

סעיף ד – גרף הנגזרת

f זוגית, ולכן f′ אי־זוגית (סימטרית ביחס לראשית) ו־f′(0) = 0. מסעיף א(4): f′ < 0 בין 0 ל־1.32, f′ > 0 בין 1.32 ל־π2, וליד π2 המכנה 2√cos x שואף ל־0, ולכן f′ → +∞ (ובצד השמאלי −∞).
גרפים I ו־II לא שואפים לאינסוף בקצוות. גרף III לא סימטרי ביחס לראשית (הגבעה משמאל גדולה בהרבה מהשקע מימין). גרף IV מתאים לכל התכונות.
✅ פתרון סופי: גרף IV

סעיף ה – מציאת k

f ≤ 0 ו־k > 0, ולכן g = k − f ≥ k > f – גרף g מעל גרף f בכל התחום.
g − f = k − 2f
f זוגית ומתחת לציר, ולכן ∫−π/2π/2 f dx = −2S:
∫−π/2π/2 (k − 2f(x)) dx📐 נוסחה: שטח בין שני גרפיםS = ∫ab (g − f) dx
= k · π − 2 · (−2S) = kπ + 4S
kπ + 4S = 10S
kπ = 6S ⇐ k = 6Sπ
✅ פתרון סופי: k = 6Sπ

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)−π2 ≤ x ≤ π2
סעיף א (2)הוכחה
סעיף א (3)(0 , 0) , (±π2 , 0)
סעיף א (4)מקסימום (0 , 0)
מינימום (±1.32 , −0.25)
מקסימום קצה (±π2 , 0)
סעיף בסקיצה
סעיף גחיוביות: אין
שליליות: −π2 < x < 0 , 0 < x < π2
סעיף דגרף IV
סעיף הk = 6Sπ
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – פונקציה זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון – מלבן במעגל

📄 נוסח השאלה

הקטע AB הוא קוטר במעגל שרדיוסו R. מסמנים על הקוטר נקודה C ועל המעגל מסמנים נקודה D, כך שהקטע CD מאונך לקטע AB. הקטע AC גדול מ־R. דרך הנקודה D מעבירים ישר שמקביל לקוטר AB. דרך הנקודה A מעבירים משיק למעגל. הישר המקביל והמשיק נחתכים בנקודה E. נסמן: AC = x.

סרטוט שאלה 8 מתוך השאלון

א. הביעו באמצעות R את הערך של x שבעבורו שטח המלבן ACDE מקסימלי.

הנקודה F נמצאת על הצלע DE. ב. הביעו באמצעות R את סכום השטחים המקסימלי של המשולשים CDF ו־AFE.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שטח מלבן מקסימלי

נסמן ב־O את מרכז המעגל. AC = x > R, ולכן C בין O ל־B, ו־OC = x − R. OD = R (רדיוס).
CD = √R2 − (x − R)2 = √2Rx − x2📐 נוסחה: משפט פיתגורס במשולש OCDa2 + b2 = c2
ACDE מלבן (המשיק ב־A מאונך לקוטר, ו־DE ∥ AB), ולכן:
S(x) = AC · CD
= x√2Rx − x2 , R < x < 2R
S′(x)📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה ושל שורש(uv)′ = u′v + uv′ , (√u)′ = u′2√u
= √2Rx − x2 + x · 2R − 2x2√2Rx − x2
= 2Rx − x2 + Rx − x2√2Rx − x2 = 3Rx − 2x2√2Rx − x2
x(3R − 2x) = 0 ⇐ x
= 1.5R (x > R)
ב־R < x < 1.5R הנגזרת חיובית, וב־1.5R < x < 2R שלילית – מקסימום.
ABCDEO
✅ פתרון סופי: x = 1.5R

סעיף ב – סכום השטחים

שני המשולשים ישרי זווית: CDF – זווית ישרה ב־D, וגובהו CD; AFE – זווית ישרה ב־E, וגובהו AE = CD.
SCDF + SAFE📐 נוסחה: שטח משולשS = בסיס · גובה2
= ½ · CD · DF + ½ · CD · FE
= ½ · CD · DE
כלומר סכום השטחים הוא תמיד חצי משטח המלבן, והוא מקסימלי כשהמלבן מקסימלי (x = 1.5R):
CD = √3R2 − 2.25R2 = √0.75R
= √32R
SACDE = 1.5R · √32R = 3√34R2
SCDF + SAFE = ½ · 3√34R2
= 3√38R2 ≈ 0.65R2
✅ פתרון סופי: 3√38R2 ≈ 0.65R2

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אx = 1.5R
סעיף ב3√38R2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – בעיות קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות