אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2021 מועד מיוחד – שאלה 1 סעיף ב
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 1 סעיף ב
מספר שנמחק – והוכחה
📄 נוסח השאלה
בחוברת לימוד ישנה ומוכתמת נמצא התרגיל הבא:
הוכיחו כי לכל n טבעי מתקיים השוויון הבא:
1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 9 + …
+ n · 3n − 1 = (2n − 1)3n + ▒4
אחד המספרים באגף ימין של התרגיל נמחק (סומן כאן ▒).
(1) מצאו את המספר שנמחק.
(2) הציבו את המספר שמצאתם והוכיחו באינדוקציה, או בדרך אחרת, כי השוויון מתקיים לכל n טבעי.
✏️ פתרון
סעיף ב (1) – המספר שנמחק
נסמן את המספר שנמחק ב־x. השוויון צריך להתקיים גם בעבור n = 1:
1 · 1 = (2 − 1) · 31 + x4
1 = 3 + x4
3 + x = 4
x = 1
✅ פתרון סופי: המספר שנמחק הוא 1
סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה
נוכיח:
1 · 1 + … + n · 3n − 1
= (2n − 1)3n + 14
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: 1 · 1 = 1. אגף ימין:
1 · 3 + 14 = 44 = 1 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
1 · 1 + … + k · 3k − 1
= (2k − 1)3k + 14
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
האיבר האחרון: (k + 1) · 3k. ובאגף ימין 2(k + 1) − 1 = 2k + 1:
1 · 1 + … + (k + 1) · 3k
= (2k + 1)3k + 1 + 14
נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה1 · 1 + … + k · 3k − 1= (2k − 1)3k + 14
= (2k − 1)3k + 14 + (k + 1)3k
מכנה משותף 4:
= (2k − 1)3k + 4(k + 1)3k + 14
נוציא גורם משותף 3k:📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= 3k(2k − 1 + 4k + 4) + 14
= 3k(6k + 3) + 14
= 3k · 3(2k + 1) + 14
חוקי חזקות: 3k · 3 = 3k + 1:📐 חוקי חזקותam · an = am + n
= (2k + 1)3k + 1 + 14 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף ב (1) | 1 |
|---|---|
| סעיף ב (2) | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il