אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2022 מועד ב – שאלה 1 סעיף א
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 1 סעיף א
סכום הריבועים
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל n טבעי מתקיים:
12 + 22 + 32 + … + n2
= n · (n + 1) · (2n + 1)6
✏️ פתרון
סעיף א – הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: 12 = 1. אגף ימין:
1 · 2 · 36 = 1 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
12 + … + k2 = k(k + 1)(2k + 1)6
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
12 + … + k2 + (k + 1)2
= (k + 1)(k + 2)(2k + 3)6
נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה12 + … + k2 = k(k + 1)(2k + 1)6
= k(k + 1)(2k + 1)6 + (k + 1)2
נוציא גורם משותף k + 16:📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= k + 16 · [k(2k + 1) + 6(k + 1)]
= k + 16 · (2k2 + 7k + 6)
נפרק, ונבדוק בפתיחת סוגריים:📐 פתיחת סוגריים(k + 2)(2k + 3)= 2k2 + 3k + 4k + 6= 2k2 + 7k + 6
= (k + 1)(k + 2)(2k + 3)6 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il