אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2024 מועד ב – שאלה 1 סעיף א
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 1 סעיף א
סכום שברים – ומלכודת
📄 נוסח השאלה
(1) הוכיחו באינדוקצייה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל n טבעי.
11 · 2 + 12 · 3 + … + 1n(n + 1)
= nn + 1
(2) האם הביטוי 1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1) שווה ל־n + 1n בעבור כל n טבעי? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון
סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: 11 · 2 = 12. אגף ימין:
11 + 1 = 12 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
11 · 2 + … + 1k(k + 1) = kk + 1
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
11 · 2 + … + 1(k + 1)(k + 2) = k + 1k + 2
נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה11 · 2 + … + 1k(k + 1) = kk + 1
= kk + 1 + 1(k + 1)(k + 2)
מכנה משותף (k + 1)(k + 2):
= k(k + 2) + 1(k + 1)(k + 2)
= k2 + 2k + 1(k + 1)(k + 2)
במונה ריבוע של סכום:📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
= (k + 1)2(k + 1)(k + 2)
נצמצם את (k + 1):
= k + 1k + 2 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף א (2) – האם הביטוי שווה?
מספיקה דוגמה נגדית אחת. נבדוק n = 2:
1 · 2 + 2 · 3 = 2 + 6 = 8
n + 1n = 32
8 ≠ 32
בסעיף (1) הסכום של ההפכיים שווה ל־nn + 1, אבל זה לא אומר שהסכום של המספרים עצמם שווה להפכי של nn + 1.
✅ פתרון סופי: לא. למשל בעבור n = 2: 8 ≠ 32
📌 סיכום
| סעיף א (1) | הוכחה |
|---|---|
| סעיף א (2) | לא (n = 2) |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il