אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 8: מכפלה של שברים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מכפלות – תרגיל 2: מכפלה של שברים
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:
(1 − 12) · (1 − 13) · …
… · (1 − 1n + 1) = 1n + 1
✏️ פתרון
הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: גורם אחד:
1 − 12 = 12
אגף ימין:
11 + 1 = 12 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
(1 − 12) · … · (1 − 1k + 1) = 1k + 1
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
הגורם האחרון בעבור n = k + 1 הוא (1 − 1k + 2).
(1 − 12) · … · (1 − 1k + 1)
· (1 − 1k + 2)
= 1k + 2
נציב את ההנחה במקום המכפלה עד הגורם (1 − 1k + 1):📐 הנחת האינדוקציה(1 − 12) · … · (1 − 1k + 1)= 1k + 1
= 1k + 1 · (1 − 1k + 2)
מכנה משותף בתוך הסוגריים:
= 1k + 1 · k + 2 − 1k + 2
= 1k + 1 · k + 1k + 2
נצמצם את (k + 1):
= 1k + 2 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il