אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 15: כלל נסיגה של סדרה הנדסית
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
סדרות – תרגיל 2: סדרה הנדסית
📄 נוסח השאלה
סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה: a1 = 2, an + 1 = 3an.
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים: an = 2 · 3n − 1.
✏️ פתרון
הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
לפי הנתון a1 = 2. לפי הנוסחה:
2 · 30 = 2 · 1 = 2 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
ak = 2 · 3k − 1
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
ak + 1 = 2 · 3(k + 1) − 1 = 2 · 3k
לפי כלל הנסיגה:📐 כלל הנסיגהak + 1 = 3ak
ak + 1 = 3ak
נציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציהak = 2 · 3k − 1
= 3 · 2 · 3k − 1
כפל חזקות עם אותו בסיס:📐 חוקי חזקות3 · 3k − 1 = 31 + (k − 1) = 3k
= 2 · 3k ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il