אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
חורף 2022 – שאלה 1 סעיף ב
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2022, שאלה 1 סעיף ב
הוכחת מכפלה
📄 נוסח השאלה
(1) הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל n טבעי מתקיים:
(1 + 11) · (1 + 12) · …
… · (1 + 1n) = n + 1
(2) חשבו את המכפלה:
(1 + 12) · (1 + 13) · …
… · (1 + 199)
✏️ פתרון
סעיף ב (1) – הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: 1 + 11 = 2. אגף ימין:
1 + 1 = 2 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
(1 + 11) · … · (1 + 1k) = k + 1
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
(1 + 11) · … · (1 + 1k + 1)
= k + 2
נפריד את הגורם האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה(1 + 11) · … · (1 + 1k) = k + 1
= (k + 1) · (1 + 1k + 1)
מכנה משותף בסוגריים:
= (k + 1) · k + 2k + 1
נצמצם את (k + 1):
= k + 2 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ב (2) – חישוב המכפלה
המכפלה הנתונה היא המכפלה מסעיף (1) בעבור n = 99, בלי הגורם הראשון (1 + 11) = 2.
(1 + 11) · … · (1 + 199) = 100📐 הנוסחה מסעיף (1)(1 + 11) · … · (1 + 1n) = n + 1
נחלק בגורם הראשון:
(1 + 12) · … · (1 + 199)
= 1002 = 50
✅ פתרון סופי: 50
📌 סיכום
| סעיף ב (1) | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב (2) | 50 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il