בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – חורף 2022

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות (שאלות 1–3); פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 5 שאלות לבחירה, 20 נקודות לכל שאלה; בשאלה 1 עונים על 3 מתוך 4 הסעיפים. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. כאן פתורות כל 8 השאלות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2022

שאלון 571 חורף 2022 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 571 חורף 2022 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 571 חורף 2022 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 571 חורף 2022 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 571 חורף 2022 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 571 חורף 2022 – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות: טרפז, אינדוקציה, זהויות טריגונומטריות, שיקוף גרף

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. כאן פתורים כל ארבעת הסעיפים.

א. לפניכם טרפז ABCD (AB ∥ CD).

הטרפז ABCD מתוך השאלון

נתון: שטח המשולש ADC הוא 24, ושטח המשולש ADB הוא 12.

(1) מצאו את היחס בין הבסיס הגדול לבסיס הקטן של הטרפז.

(2) חשבו את שטח הטרפז ABCD.

ב. (1) הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל n טבעי מתקיים:

(1 + 11) · (1 + 12) · …
· (1 + 1n) = n + 1

(2) חשבו את המכפלה:

(1 + 12) · (1 + 13) · …
· (1 + 199)

ג. בעבור כל אחת מן הטענות (1)–(2) שלפניכם, קבעו אם היא נכונה לכל x. נמקו.

(1) sin(π2 − x) = sin(π2 + x)

(2) sin(π2 − x) = sin(x − π2)

ד. לפניכם הגרף של פונקציה f(x), המוגדרת לכל x.

גרף הפונקציה f(x) מתוך השאלון

לפונקציה f(x) אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y = 1 (ראו סרטוט), ויש לה 2 נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום (0 , 3) ונקודת מינימום (−2 , −1).

נגדיר את הפונקציה g(x) = f(−x) + 1. גם הפונקציה g(x) מוגדרת לכל x.

(1) מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה g(x). נמקו.

(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – היחס בין הבסיסים

במשולש ADC ניקח את DC כבסיס, ובמשולש ADB את AB כבסיס. הגובה לשני הבסיסים הוא גובה הטרפז h (הבסיסים מקבילים).
SADC = DC · h2 = 24📐 נוסחה: שטח משולשS = a · ha2
SADB = AB · h2 = 12📐 נוסחה: שטח משולשS = a · ha2
נחלק את השוויונות זה בזה:
DCAB = 2412 = 2
✅ פתרון סופי: היחס בין הבסיס הגדול לקטן: 2

סעיף א (2) – שטח הטרפז

AB · h2 = 12
DC · h2 = 24
S = (AB + DC) · h2 = AB · h2 + DC · h2📐 נוסחה: שטח טרפזS = (a + b) · h2
S = 12 + 24 = 36
✅ פתרון סופי: S = 36

סעיף ב (1) – הוכחה באינדוקציה

בדיקה עבור n = 1:📐 משפט: אינדוקציה1. בדיקה עבור n = 12. הנחה עבור n = k , הוכחה עבור n = k + 1
אגף שמאל: 1 + 11 = 2
אגף ימין: 1 + 1 = 2
השוויון נכון.
הנחה: עבור n = k:
(1 + 11) · … · (1 + 1k) = k + 1
הוכחה עבור n = k + 1: נכפול את שני האגפים של ההנחה בגורם הבא (1 + 1k + 1). אגף שמאל הופך למכפלה עד n = k + 1:
לפי ההנחה, המכפלה עד k שווה k + 1:
= (k + 1) · (1 + 1k + 1)
= (k + 1) · k + 2k + 1
= k + 2
זה בדיוק אגף ימין עבור n = k + 1, ולכן הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב (2) – חישוב המכפלה

לפי סעיף ב(1) עבור n = 99:
(1 + 11) · … · (1 + 199)
= 99 + 1 = 100
המכפלה המבוקשת היא אותה מכפלה בלי הגורם הראשון (1 + 11) = 2:
(1 + 12) · … · (1 + 199) = 1002
= 50
✅ פתרון סופי: 50

סעיף ג (1)

sin(π2 − x) = cos x📐 נוסחה: זוויות משלימות ל־90sin(π2 − x) = cos x
sin(π2 + x) =📐 נוסחה: סינוס של סכום זוויותsin(a + b) =sin a cos b + cos a sin b
= sin π2 cos x + cos π2 sin x
= 1 · cos x + 0 · sin x = cos x
שני האגפים שווים cos x לכל x.
✅ פתרון סופי: נכונה לכל x

סעיף ג (2)

sin(π2 − x) = cos x📐 נוסחה: זוויות משלימות ל־90sin(π2 − x) = cos x
sin(x − π2) =📐 נוסחה: סינוס של הפרש זוויותsin(a − b) =sin a cos b − cos a sin b
= sin x cos π2 − cos x sin π2
= sin x · 0 − cos x · 1 = −cos x
השוויון cos x = −cos x מתקיים רק כאשר cos x = 0. למשל עבור x = 0:
sin π2 = 1 , sin(−π2) = −1
1 ≠ −1, ולכן הטענה לא נכונה לכל x.
✅ פתרון סופי: לא נכונה לכל x

סעיף ד (1) – האסימפטוטה האופקית של g

סקיצה 1 – הגרף של f (כחול), כמו בסרטוט הנתון:
xyy = 1(0 , 3)(−2 , −1)f(x)
סקיצה 2 – הגרף של g(x) = f(−x) + 1 (סגול): משקפים את סקיצה 1 בציר ה־y ומזיזים יחידה אחת למעלה. את האסימפטוטה ואת נקודות הקיצון קוראים מהגרף:
xyy = 2(0 , 4)(2 , 0)g(x)
כאשר x שואף ל־∞ או ל־−∞, גם −x שואף ל־−∞ או ל־∞, ולכן f(−x) שואפת ל־1 (האסימפטוטה של f).
g(x) = f(−x) + 1 → 1 + 1 = 2
(הגרף של f(−x) הוא שיקוף של f(x) בציר ה־y, והוספת 1 מזיזה אותו יחידה אחת למעלה.)📐 כלל: הזזה ושיקוףf(−x) – שיקוף בציר yf(x) + 1 – הזזה למעלה ב־1
✅ פתרון סופי: y = 2

סעיף ד (2) – נקודות הקיצון של g

(ראו סקיצה 2 בסעיף ד(1).) בשיקוף בציר ה־y שיעור ה־x מחליף סימן, ובהזזה למעלה שיעור ה־y גדל ב־1. סוג הקיצון לא משתנה.
מקסימום של f: (0 , 3)
x = −0 = 0
g(0) = f(0) + 1 = 3 + 1 = 4
מינימום של f: (−2 , −1)
x = 2
g(2) = f(−2) + 1 = −1 + 1 = 0
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 4) , מינימום (2 , 0)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)2
סעיף א (2)36
סעיף ב (1)הוכחה
סעיף ב (2)50
סעיף ג (1)נכונה
סעיף ג (2)לא נכונה
סעיף ד (1)y = 2
סעיף ד (2)מקס (0 , 4) , מינ (2 , 0)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרות חשבוניות: סדרת הפרשי הסכומים

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית עולה A שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , …, והפרשה d.

מסמנים ב־Sn את סכום n האיברים הראשונים בסדרה A, לכל n טבעי.

מגדירים סדרה נוספת, B, שאיבריה הם b1 , b2 , b3 , …. איברי הסדרה B מקיימים bn = Sn+1 − Sn, לכל n טבעי.

א. (1) האם הסדרה B היא סדרה חשבונית? נמקו.

(2) האם הסדרה B זהה לסדרה A? נמקו.

מסמנים ב־Tn את סכום n האיברים הראשונים בסדרה B, לכל n טבעי.

ב. הוכיחו כי לכל n טבעי זוגי מתקיים:

Tn = M−d

כאשר:

M = (b1 + b2)(b1 − b2)
+ (b3 + b4)(b3 − b4) + …
+ (bn−1 + bn)(bn−1 − bn)

נתון:

b12 − b22 + b32 − b42 + …
+ b392 − b402 = −95

, T5 = −20.

ג. חשבו את b1 ואת d (אפשר להיעזר בסעיף ב).

מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה A הנמצאים במקומות האי־זוגיים, החל באיבר הראשון.

ד. מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר באופן זה כדי שהסכום שיתקבל יהיה מספר חיובי שלם? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1)+(2) – האם B חשבונית? האם B זהה ל־A?

Sn+1 = a1 + a2 + … + an + an+1
Sn = a1 + a2 + … + an
bn = Sn+1 − Sn = an+1
כלומר b1 = a2 , b2 = a3 , … – סדרה B היא סדרה A בלי האיבר הראשון.
bn+1 − bn = an+2 − an+1 = d📐 הגדרה: סדרה חשבוניתan+1 − an = d (קבוע)
ההפרש קבוע, ולכן B סדרה חשבונית (עם אותו הפרש d).
b1 = a2 = a1 + d ≠ a1
(d > 0 כי A עולה.) האיבר הראשון שונה, ולכן B אינה זהה ל־A.
✅ פתרון סופי: B חשבונית – כן ; זהה ל־A – לא

סעיף ב – הוכחת הנוסחה

בסדרה B ההפרש הוא d, ולכן בכל זוג איברים סמוכים:
bk − bk+1 = −d📐 הגדרה: סדרה חשבוניתbk+1 − bk = d
לכן כל מחובר במונה:
(bk + bk+1)(bk − bk+1)
= (bk + bk+1) · (−d)
לכן המונה M הוא −d כפול סכום הזוגות, ונחלק ב־−d:
M−d = −d[(b1 + b2) + … + (bn−1 + bn)]−d
= (b1 + b2) + (b3 + b4) + …
+ (bn−1 + bn)
= Tn
(n זוגי, ולכן כל האיברים מתחלקים לזוגות.)
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג – מציאת b₁ ו־d

לפי הפרש ריבועים, הנתון הראשון הוא המונה של סעיף ב עבור n = 40:
b12 − b22 = (b1 + b2)(b1 − b2)📐 נוסחה: הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a + b)(a − b)
T40 = −95−d = 95d
T40 = 402 · (2b1 + 39d)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
T40 = 20(2b1 + 39d)
T5 = 52 · (2b1 + 4d) = 5(b1 + 2d)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
5(b1 + 2d) = −20
b1 + 2d = −4
b1 = −4 − 2d
נציב במשוואה של T40:
20(2(−4 − 2d) + 39d) = 95d
20(35d − 8) = 95d
700d2 − 160d = 95
140d2 − 32d − 19 = 0
d = 32 ± √(1024 + 10640)280 = 32 ± 108280📐 נוסחה: נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
d = 12 או d = −1970
A סדרה עולה, ולכן d > 0:
d = 12
b1 = −4 − 2 · 12 = −5
✅ פתרון סופי: b1 = −5 , d = 12

סעיף ד – מספר האיברים במקומות האי־זוגיים

a1 = b1 − d = −5 − 12 = −5.5
האיברים במקומות האי־זוגיים a1 , a3 , a5 , … הם סדרה חשבונית עם הפרש 2d = 1.
Sm = m2 · (−11 + m − 1)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
Sm = m2 · (m − 12) = m(m − 12)2
סכום חיובי: m − 12 > 0, כלומר m > 12.
m = 13 : S = 13 · 12 = 6.5
לא מספר שלם.
m = 14 : S = 14 · 22 = 14
מספר שלם חיובי.
✅ פתרון סופי: 14 איברים

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אחשבונית – כן , זהה – לא
סעיף בהוכחה
סעיף גb1 = −5 , d = 12
סעיף ד14
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: סוכריות תות ומנטה

📄 נוסח השאלה

בקופסה יש שלוש סוכריות בטעם תות ושתי סוכריות בטעם מנטה. ליאור מוציא באקראי סוכרייה מן הקופסה.

אם הסוכרייה היא בטעם מנטה – הוא מחזיר אותה לקופסה, ואם היא בטעם תות – הוא אוכל אותה מייד.

א. ליאור מוציא מן הקופסה שלוש סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה.

(1) חשבו את ההסתברות שליאור יאכל בדיוק סוכרייה אחת.

(2) חשבו את ההסתברות שליאור אכל את הסוכרייה השנייה שהוא הוציא, אם ידוע כי ליאור אכל בדיוק סוכרייה אחת.

ב. ליאור מוציא מן הקופסה n סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. הביעו בעזרת n את ההסתברות שליאור יאכל סוכרייה אחת לפחות.

ג. ליאור קיבל שתי קופסאות סוכריות, כל אחת מהן זהה לקופסה המתוארת בתחילת השאלה. ליאור מוציא שלוש סוכריות מכל אחת משתי הקופסאות, באופן המתואר בתחילת השאלה.

חשבו את ההסתברות שליאור יאכל בדיוק שלוש סוכריות, שלושתן מאותה קופסה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – בדיוק סוכרייה אחת נאכלת

בכל הוצאה ההסתברות לתות היא מספר סוכריות התות חלקי מספר הסוכריות בקופסה. סוכריית מנטה חוזרת, ולכן אחרי מנטה הקופסה לא משתנה; אחרי תות יש סוכרייה אחת פחות (תות).
נסמן ת – תות (נאכלת), מ – מנטה (חוזרת). יש שלוש אפשרויות לאכול בדיוק אחת:
ת, מ, מ:
P = 35 · 24 · 24 = 320📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)
מ, ת, מ:
P = 25 · 35 · 24 = 325📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)
מ, מ, ת:
P = 25 · 25 · 35 = 12125📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)
סכום (מאורעות זרים):
P = 320 + 325 + 12125📐 נוסחה: חיבור מאורעות זריםP(A או B) = P(A) + P(B)
P = 0.15 + 0.12 + 0.096 = 0.366
✅ פתרון סופי: 0.366 (183500)

סעיף א (2) – הסתברות מותנית

A – ליאור אכל את הסוכרייה השנייה. B – ליאור אכל בדיוק סוכרייה אחת.
"A וגם B" – רק האפשרות מ, ת, מ:
P(A וגם B) = 325 = 0.12
P(A | B) = 0.120.366📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A וגם B)P(B)
P(A | B) = 120366 = 2061 ≈ 0.328
✅ פתרון סופי: 2061 ≈ 0.328

סעיף ב – לפחות סוכרייה אחת מתוך n

המאורע המשלים: ליאור לא אכל אף סוכרייה – כל ההוצאות היו מנטה. כל עוד לא נאכלה סוכרייה, בקופסה 5 סוכריות ומהן 2 מנטה:
ההסתברות שבכל n ההוצאות תצא מנטה:
P = (25)n📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)
ההסתברות לאכול סוכרייה אחת לפחות:
P = 1 − (25)n📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)
✅ פתרון סופי: 1 − (25)n

סעיף ג – שלוש סוכריות מאותה קופסה

צריך שמקופסה אחת ייאכלו שלוש סוכריות (שלוש הוצאות של תות), ומהקופסה השנייה אף סוכרייה (שלוש הוצאות של מנטה).
שלוש סוכריות תות מאותה קופסה:
P = 35 · 24 · 13 = 660 = 110📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)
אף סוכרייה מהקופסה השנייה:
P = (25)3 = 8125📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)
הקופסה שממנה אכל יכולה להיות הראשונה או השנייה – שתי אפשרויות:
P = 2 · 110 · 8125
P = 161250 = 8625 = 0.0128
✅ פתרון סופי: 0.0128

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)0.366
סעיף א (2)≈ 0.328
סעיף ב1 − (25)n
סעיף ג0.0128
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – הסתברות בעץ
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה: קוטר, חוצה זווית ומשולשים דומים

📄 נוסח השאלה

המשולש ABC חסום במעגל שרדיוסו R. BC הוא קוטר במעגל.

AG הוא המשך של CA, כמתואר בסרטוט. GB חותך את המעגל בנקודה D.

נתון: GA = AC.

סרטוט שאלה 4 מתוך השאלון

א. הוכיחו כי AB חוצה את הזווית GBC.

ב. הוכיחו: △GBC ∼ △GAD.

נתון כי היחס בין שטח המרובע DBCA לשטח המשולש GAD הוא 15.

ג. הביעו את AC באמצעות R.

דרך הנקודה C העבירו משיק למעגל. המשיק חותך את המשך הקטע BA בנקודה E.

ד. פי כמה גדול שטח המשולש CBE משטח המשולש ABC?

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – AB חוצה את הזווית GBC

סרטוט מדויק בקנה מידה (לפי הנתונים: AC = R2):
ABCDGEO
∢BAC = 90📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר שווה 90 מעלות
G , A , C על ישר אחד, ולכן גם:
∢BAG = 180 − 90 = 90📐 משפט: זוויות צמודותסכום זוויות צמודות 180 מעלות
במשולש GBC: BA ⊥ GC – BA גובה לצלע GC.
נתון GA = AC – BA גם תיכון לצלע GC.
במשולש שבו הגובה הוא גם התיכון, המשולש שווה שוקיים (BG = BC), והגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש.📐 משפט: משולש שווה שוקייםגובה שהוא גם תיכון – המשולש שווה שוקייםבשווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש
∢GBA = ∢ABC
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – הוכחת הדמיון

נתבונן במשולשים GBC ו־GAD:
∢BGC = ∢AGD
(זווית משותפת)
המרובע DBCA חסום במעגל. הזווית ∢GDA היא זווית חיצונית למרובע ליד הקודקוד D, ולכן היא שווה לזווית הפנימית הנגדית ∢ACB:
∢GDA = 180 − ∢BDA = ∢BCA📐 משפט: מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות במרובע חסום 180 מעלות
△GBC ∼ △GAD📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות בהתאמה – המשולשים דומים
(התאמה: G ↔ G , B ↔ A , C ↔ D)
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג – AC באמצעות R

SGBC = SGAD + SDBCA
SDBCA = 15 · SGAD
SGBC = 16 · SGAD
SGBCSGAD = k2 = 16📐 נוסחה: יחס שטחים במשולשים דומיםS1S2 = k2
k = 4
לפי ההתאמה מסעיף ב, הצלע GB מתאימה לצלע GA:
GBGA = 4
לפי סעיף א GB = BC = 2R, ונתון GA = AC:
2RAC = 4
AC = 2R4 = R2
✅ פתרון סופי: AC = R2 = 0.5R

סעיף ד – פי כמה גדול שטח CBE

∢BCE = 90📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
נתבונן במשולשים ישרי הזווית ABC (∢BAC = 90) ו־CBE (∢BCE = 90):
∢ABC = ∢CBE
(זווית משותפת)
△ABC ∼ △CBE📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות בהתאמה – המשולשים דומים
התאמה: A ↔ C , B ↔ B , C ↔ E. הצלע BC (במשולש CBE) מתאימה לצלע AB (במשולש ABC).
מציאת AB במשולש ישר הזווית ABC:
AB2 = BC2 − AC2📐 משפט: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
AB2 = 4R2 − R24 = 15R24
AB = √15 · R2
k = BCAB = 2R√15 · R2 = 4√15
SCBESABC = k2 = 1615📐 נוסחה: יחס שטחים במשולשים דומיםS1S2 = k2
✅ פתרון סופי: פי 1615 = 1115

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכחה
סעיף בהוכחה
סעיף גAC = 0.5R
סעיף דפי 1615
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטרייה: משיק, קוטר ומשפט הסינוסים

📄 נוסח השאלה

AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.

המיתר CD חותך את הקוטר AB בנקודה F.

המשיק למעגל בנקודה D חותך את המשך הקוטר AB בנקודה E, כמתואר בסרטוט.

נסמן: ∢ADE = x. (בשאלון מסומן באות יוונית; כאן x.)

סרטוט שאלה 5 מתוך השאלון

א. הוכיחו: ∢BAD = 90 − x.

נתון: ED = FD.

ב. הביעו את הזווית CDA באמצעות x.

ג. הביעו באמצעות R ו־x את שטח המשולש AFD.

ד. (1) הביעו באמצעות x את היחס בין שטח המשולש AFD לשטח המשולש AED.

(2) נתון כי היחס שמצאתם בתת־סעיף ד(1) הוא 1 + √3. מצאו את x.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הוכחה

סרטוט מדויק בקנה מידה (לפי הנתונים: x = 15 מעלות), ומתחתיו הגדלה של אזור המשולשים:
ABCDEFO
ADEFx3x
הזווית בין המשיק DE למיתר DA שווה לזווית ההיקפית ∢ABD הנשענת על המיתר AD:
∢ABD = ∢ADE = x📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢ADB = 90📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר שווה 90 מעלות
במשולש ABD:
∢BAD = 180 − 90 − x = 90 − x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – הזווית CDA

E , A , F , B על ישר אחד (הקוטר והמשכו). הזווית ∢EAD צמודה לזווית ∢BAD:
∢EAD = 180 − (90 − x) = 90 + x📐 משפט: זוויות צמודותסכום זוויות צמודות 180 מעלות
במשולש AED:
∢AED = 180 − (90 + x) − x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
∢AED = 90 − 2x
נתון ED = FD – המשולש EDF שווה שוקיים:
∢DFE = ∢DEF = 90 − 2x📐 משפט: משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות מונחות זוויות שוות
∢EDF = 180 − 2(90 − 2x) = 4x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
∢CDA = ∢FDA = ∢EDF − ∢EDA
∢CDA = 4x − x = 3x
✅ פתרון סופי: ∢CDA = 3x

סעיף ג – שטח המשולש AFD

הצלע AD במשולש ישר הזווית ABD (היתר AB = 2R):
AD = AB · sin ∢ABD = 2R sin x📐 נוסחה: סינוס במשולש ישר זוויתsin x = ניצב מול הזוויתיתר
הזוויות במשולש AFD:
∢FAD = 90 − x , ∢ADF = 3x
∢AFD = 180 − (90 − x) − 3x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
∢AFD = 90 − 2x
הצלע DF – משפט הסינוסים במשולש AFD:
DFsin ∢FAD = ADsin ∢AFD📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C
DFsin(90 − x) = 2R sin xsin(90 − 2x)
DF = 2R sin x cos xcos 2x📐 נוסחה: סינוס של 90 פחות זוויתsin(90 − x) = cos x
DF = R sin 2xcos 2x📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin 2x = 2 sin x cos x
השטח:
SAFD = 12 · AD · DF · sin ∢ADF📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
SAFD = 12 · 2R sin x
· R sin 2xcos 2x · sin 3x
SAFD = R2 sin x · sin 2x · sin 3xcos 2x
✅ פתרון סופי: SAFD = R2 sin x · sin 2x · sin 3xcos 2x

סעיף ד (1) – היחס בין השטחים

למשולשים AFD ו־AED אותו גובה מהקודקוד D לישר EF, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:
SAFDSAED = AFAE📐 נוסחה: שטח משולשS = a · ha2
AF – משפט הסינוסים במשולש AFD:
AFsin 3x = ADsin(90 − 2x)📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C
AF = AD · sin 3xcos 2x
AE – משפט הסינוסים במשולש AED (∢AED = 90 − 2x):
AEsin x = ADsin(90 − 2x)📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C
AE = AD · sin xcos 2x
AFAE = sin 3xsin x
✅ פתרון סופי: SAFDSAED = sin 3xsin x

סעיף ד (2) – מציאת x

sin 3x = sin(2x + x)📐 נוסחה: סינוס של סכום זוויותsin(a + b) =sin a cos b + cos a sin b
sin 3x =
sin 2x cos x + cos 2x sin x
sin 3x =📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin 2x = 2 sin x cos x
2 sin x cos2x + cos 2x sin x
sin 3xsin x = 2cos2x + cos 2x
= (1 + cos 2x) + cos 2x📐 נוסחה: קוסינוס של זווית כפולהcos 2x = 2cos2x − 1
= 1 + 2cos 2x
1 + 2cos 2x = 1 + √3
cos 2x = √32
הזווית ∢AED = 90 − 2x חיובית, ולכן 0 < 2x < 90:
2x = 30
x = 15
✅ פתרון סופי: x = 15 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אהוכחה
סעיף ב3x
סעיף גR2 sin x sin 2x sin 3xcos 2x
סעיף ד (1)sin 3xsin x
סעיף ד (2)x = 15
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציית מנה עם פרמטר ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = x2(x3 − m)2 , m הוא פרמטר חיובי.

א. הביעו את תשובותיכם באמצעות m, אם יש צורך.

(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה f(x) המאונכות לצירים.

ידוע כי לפונקצייה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = −1.

ב. מצאו את הערך של m.

הציבו בפונקצייה f(x) את הערך של m שמצאתם, וענו על הסעיפים ג–ה.

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ה. נתונה הפונקצייה g(x) = k · f(x) , k הוא פרמטר שלילי.

(1) סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקצייה g(x).

(2) דרך נקודת הקיצון השמאלית של g(x) מעבירים אנך לציר ה־x.

נתון כי השטח המוגבל על ידי האנך, על ידי גרף הפונקצייה g(x) ועל ידי ציר ה־x הוא 1 (השטח שמימין לאנך).

מצאו את הערך של k.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

(x3 − m)2 ≠ 0
x3 ≠ m
x ≠ ∛m
✅ פתרון סופי: x ≠ ∛m

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס ב־x = ∛m והמונה שם (∛m)2 ≠ 0 (כי m > 0):📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא
x = ∛m
אופקית: המעלה במונה 2, המעלה במכנה 6. מעלת המכנה גדולה יותר, ולכן f(x) שואפת ל־0 כש־x → ±∞:📐 כלל: אסימפטוטה אופקיתמעלת המכנה גדולה ממעלת המונה – y = 0
y = 0
✅ פתרון סופי: x = ∛m , y = 0

סעיף ב – הערך של m

u = x2 , u′ = 2x
v = (x3 − m)2
v′ = 2(x3 − m) · 3x2📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מורכבת((g(x))n)′ = n(g(x))n−1 · g′(x)
f′(x) = 2x(x3 − m)2 − x2 · 6x2(x3 − m)(x3 − m)4📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
נוציא גורם משותף 2x(x3 − m) ונצמצם:
f′(x) = 2x[(x3 − m) − 3x3](x3 − m)3
f′(x) = −2x(2x3 + m)(x3 − m)3
בנקודת קיצון f′ = 0:📐 תנאי: נקודת קיצוןf′(x) = 0
f′(−1) = 2(m − 2)(−1 − m)3 = 0
2(m − 2) = 0
m = 2
✅ פתרון סופי: m = 2

סעיף ג – נקודות קיצון

f(x) = x2(x3 − 2)2
f′(x) = −2x(2x3 + 2)(x3 − 2)3
f′(x) = −4x(x3 + 1)(x3 − 2)3
f′(x) = 0
x = 0 או x3 = −1 ⟹ x = −1
טבלת סימנים (נקודות מיוחדות: −1 , 0 , ∛2):
f′(−2) = −4(−2)(−7)(−10)3 = −56−1000 > 0📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
f′(−0.5) = −4(−0.5)(0.875)(−2.125)3 < 0
f′(1) = −4 · 1 · 2(−1)3 = 8 > 0
f′(2) = −4 · 2 · 963 < 0
ב־x = −1: עלייה ואחריה ירידה – מקסימום. ב־x = 0: ירידה ואחריה עלייה – מינימום.
f(−1) = 1(−1 − 2)2 = 19
f(0) = 0
✅ פתרון סופי: מקסימום (−1 , 19) , מינימום (0 , 0)

סעיף ד – סקיצה של f

xy−1∛21/9(−1 , 1/9)
גרף f(x) (כחול), האסימפטוטה x = ∛2 ≈ 1.26 (ירוק חזק, מקווקו), האסימפטוטה y = 0 – ציר ה־x.
עולה ב־x < −1 וב־0 < x < ∛2; יורדת ב־−1 < x < 0 וב־x > ∛2. הפונקציה אי־שלילית (ריבוע חלקי ריבוע).
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ה (1) – סקיצה אפשרית של g

k < 0: הגרף של g(x) = k · f(x) הוא הגרף של f(x) "הפוך" (שיקוף בציר ה־x ומתיחה). המקסימום של f הופך למינימום של g ב־x = −1, המינימום ב־(0 , 0) הופך למקסימום, האסימפטוטות לא משתנות.
xy−1∛2−2(−1 , −2)
סקיצה של g(x) (כחול) – מצויר עבור k = −18 (סעיף ה(2)). האנך x = −1 (סגול), השטח (תכלת).
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ה (2) – הערך של k

נקודת הקיצון השמאלית של g היא ב־x = −1, והאנך הוא x = −1. מימין לאנך הגרף עולה עד (0 , 0) – שם הוא נוגע בציר ה־x. השטח בתחום −1 ≤ x ≤ 0 נמצא מתחת לציר (g ≤ 0):
S = −∫−10 k · x2(x3 − 2)2 dx📐 נוסחה: שטח מתחת לציר xS = −∫ab g(x)dx
פונקציה קדומה: נבדוק בגזירה (פונקציה מורכבת):
(−13(x3 − 2))′📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מורכבת((g(x))n)′ = n(g(x))n−1 · g′(x)
= 13 · (x3 − 2)−2 · 3x2
= x2(x3 − 2)2
F(x) = −13(x3 − 2)
F(0) = −13 · (−2) = 16
F(−1) = −13 · (−3) = 19
∫−10 x2(x3 − 2)2 dx = 16 − 19 = 118📐 נוסחה: אינטגרל מסוים∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
S = −k · 118 = 1
k = −18
✅ פתרון סופי: k = −18

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)x ≠ ∛m
סעיף א (2)x = ∛m , y = 0
סעיף בm = 2
סעיף גמקס (−1 , 19) , מינ (0 , 0)
סעיף דסקיצה
סעיף ה (1)סקיצה
סעיף ה (2)k = −18
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 63 – חקירת מנה עם פרמטר
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש והנגזרת שלה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 3x + 2 · √(x2 − 2x).

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

(2) מצאו את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x).

(3) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x).

(4) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) עם ציר ה־x. בתשובתכם דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

(5) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x), אם ידוע כי לפונקציית הנגזרת f′(x) אין נקודות קיצון.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ג. האם ייתכן שישר שמשוואתו y = 4x + c (c פרמטר) ישיק לגרף הפונקצייה f(x)? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום ההגדרה של f

ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי:📐 נוסחה: תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0
x2 − 2x ≥ 0
x(x − 2) ≥ 0
פרבולה "מחייכת" עם שורשים 0 ו־2 – אי־שלילית מחוץ לשורשים:
x ≤ 0 או x ≥ 2
✅ פתרון סופי: x ≤ 0 או x ≥ 2

סעיף א (2) – תחום ההגדרה של f′

f′(x) = 3 + 2 · 2x − 22√(x2 − 2x)📐 נוסחה: נגזרת של שורש(√(g(x)))′ = g′(x)2√(g(x))
f′(x) = 3 + 2x − 2√(x2 − 2x)
השורש במכנה – הביטוי שבתוכו חייב להיות חיובי:
x2 − 2x > 0
x < 0 או x > 2
✅ פתרון סופי: x < 0 או x > 2

סעיף א (3) – אסימפטוטות של f′

אנכיות: המכנה מתאפס ב־x = 0 וב־x = 2, והמונה 2x − 2 שם −2 ו־2 (שונה מ־0).📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא
x = 0 , x = 2
אופקיות: כאשר x רחוק מאוד, √(x2 − 2x) ≈ |x|:
כאשר x → ∞:
2x − 2√(x2 − 2x) → 2xx = 2
f′ → 3 + 2 = 5
כאשר x → −∞:
2x − 2√(x2 − 2x) → 2x−x = −2
f′ → 3 − 2 = 1
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = 2 ; y = 5 (ימין) , y = 1 (שמאל)

סעיף א (4) – חיתוך f′ עם ציר x

f′(x) = 0
2x − 2√(x2 − 2x) = −3
2x − 2 = −3√(x2 − 2x)
אגף ימין שלילי, ולכן גם 2x − 2 < 0, כלומר x < 1. נעלה בריבוע:
4x2 − 8x + 4 = 9(x2 − 2x)
4x2 − 8x + 4 = 9x2 − 18x
5x2 − 10x − 4 = 0
x = 10 ± √(100 + 80)10 = 10 ± √18010📐 נוסחה: נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x ≈ 2.34 או x ≈ −0.34
x ≈ 2.34 נפסל (צריך x < 1). x ≈ −0.34 בתחום (x < 0) ומתאים.
✅ פתרון סופי: (−0.34 , 0)

סעיף א (5) – סקיצה של f′

ב־x < 0: מ־y = 1 (משמאל) הגרף יורד, חותך את ציר ה־x ב־−0.34 ושואף ל־−∞ ליד x = 0. ב־x > 2: מ־+∞ ליד x = 2 הגרף יורד ומתקרב ל־y = 5.
xy215(−0.34 , 0)
f′(x) (סגול), האסימפטוטות האופקיות (ירוק חזק) והאנכית x = 2 (ירוק חלש); x = 0 הוא ציר ה־y.
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ב (1) – נקודות קיצון של f

לפי הסקיצה של f′: ב־x < −0.34 f′ > 0, ב־−0.34 < x < 0 f′ < 0, וב־x > 2 f′ > 5 > 0.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
מקסימום ב־x ≈ −0.34:
f(−0.34) ≈ 3 · (−0.34)
+ 2√(0.1156 + 0.68)
f(−0.34) ≈ −1.02 + 1.78 ≈ 0.76
(בערך מדויק: x = 1 − 3√5 , f = 3 − √5 ≈ 0.76.)
קצות התחום:
f(0) = 0 + 2√0 = 0
לפני x = 0 הפונקציה יורדת – (0 , 0) מינימום קצה.
f(2) = 6 + 2√0 = 6
אחרי x = 2 הפונקציה עולה – (2 , 6) מינימום קצה.
✅ פתרון סופי: מקסימום (−0.34 , 0.76) ; מינימום (קצה) (0 , 0) , (2 , 6)

סעיף ב (2) – סקיצה של f

xy26(−0.34 , 0.76)(2 , 6)
גרף f(x) (כחול): עולה עד המקסימום, יורד עד (0 , 0); מ־(2 , 6) עולה.
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ג – משיק עם שיפוע 4?

שיפוע המשיק לגרף בנקודה שווה לערך הנגזרת בה. ישר y = 4x + c משיק רק אם f′(x) = 4 באיזושהי נקודה.📐 נוסחה: שיפוע משיקm = f′(x0)
לפי סעיף א(5) (הנגזרת ללא קיצון, יורדת בכל ענף): ב־x < 0 ערכי f′ קטנים מ־1, וב־x > 2 ערכי f′ גדולים מ־5.
הערך 4 אינו מתקבל, ולכן אין משיק כזה.
✅ פתרון סופי: לא ייתכן

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)x ≤ 0 , x ≥ 2
סעיף א (2)x < 0 , x > 2
סעיף א (3)x = 0 , x = 2 , y = 1 , y = 5
סעיף א (4)(−0.34 , 0)
סעיף ב (1)מקס (−0.34 , 0.76) , מינ (0 , 0) , (2 , 6)
סעיף גלא
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 23 – פתרון בגרות 2022 חורף, חקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון טריגונומטרית: סכר בין תעלות

📄 נוסח השאלה

תעלה ראשית שרוחבה a מתחברת בזווית ישרה לתעלה משנית שרוחבה b, כמתואר בסרטוט.

הנקודה C היא נקודת המפגש בין דופן של התעלה הראשית ובין דופן של התעלה המשנית (ראו סרטוט).

סרטוט שאלה 8 מתוך השאלון

מהנדסת מתכננת סכר ישר, שיֵצא מן הנקודה A שבדופן התעלה הראשית, יעבור דרך הנקודה C ויגיע עד הנקודה B שבדופן התעלה המשנית.

הסכר ייצור זווית שגודלה x עם הדופן CD של התעלה המשנית, כמתואר בסרטוט.

א. הביעו באמצעות a , b ו־x את אורך הסכר AB.

נתון כי a = 2b.

ב. מצאו את x שבעבורו אורך הסכר AB יהיה מינימלי.

ג. ידוע כי האורך המינימלי של הסכר הוא 8. מצאו את b.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אורך הסכר

סרטוט מדויק בקנה מידה של המצב המינימלי (x ≈ 38.44 מעלות):
ABCDxa = 2bb
נחלק את הסכר לשני קטעים: AC (בתעלה הראשית) ו־CB (בתעלה המשנית).
הקטע AC: הרוחב a הוא המרחק האופקי בין C לדופן שעליו A. הזווית בין AC לקו אופקי היא x (זוויות מתחלפות בין מקבילים, CD אופקי).
cos x = aAC📐 נוסחה: קוסינוס במשולש ישר זוויתcos x = ניצב ליד הזוויתיתר
AC = acos x
הקטע CB: הרוחב b הוא המרחק האנכי בין C לדופן התחתון של התעלה המשנית, והוא מול הזווית x:
sin x = bCB📐 נוסחה: סינוס במשולש ישר זוויתsin x = ניצב מול הזוויתיתר
CB = bsin x
AB = AC + CB = acos x + bsin x
✅ פתרון סופי: AB = acos x + bsin x

סעיף ב – x שבעבורו AB מינימלי

L(x) = 2bcos x + bsin x , 0 < x < π2
L′(x) = 2b sin xcos2x − b cos xsin2x📐 נוסחה: נגזרת(1cos x)′ = sin xcos2x(1sin x)′ = −cos xsin2x
L′(x) = 0
2b sin xcos2x = b cos xsin2x
2 sin3x = cos3x
tan3x = 12📐 נוסחה: טנגנסtan x = sin xcos x
tan x = ∛0.5 ≈ 0.7937
x ≈ 38.44 (≈ 0.671 רדיאנים)
בדיקת סוג הקיצון:
L′(0.5) ≈ b(1.244 − 3.819) < 0📐 משפט: עלייה וירידהL′ > 0 – עולהL′ < 0 – יורדת
L′(1) ≈ b(5.760 − 0.763) > 0
ירידה ואחריה עלייה – מינימום.
✅ פתרון סופי: x ≈ 38.44 מעלות

סעיף ג – מציאת b

tan x ≈ 0.7937
cos x ≈ 0.7833
sin x ≈ 0.6217
Lmin = 2b0.7833 + b0.6217
Lmin ≈ 2.5534b + 1.6085b
Lmin ≈ 4.1619b
4.1619b = 8
b ≈ 1.92
✅ פתרון סופי: b ≈ 1.92

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אAB = acos x + bsin x
סעיף בx ≈ 38.44
סעיף גb ≈ 1.92
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות