אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2021 מועד א – שאלה 1 סעיף ב
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2021 מועד א׳, שאלה 1 סעיף ב
איזו טענה נכונה?
📄 נוסח השאלה
לפניך שתי טענות. קבע איזו מהן נכונה לכל n טבעי, והוכח אותה באינדוקציה.
I. 12 · 3 + 13 · 4 + …
… + 1(n + 1)(n + 2) = n2n + 4
II. 12 · 3 + 13 · 4 + …
… + 1(n + 1)(n + 2) = n3(n + 1)
✏️ פתרון
סעיף ב – איזו טענה נכונה
בעבור n = 1 שתי הטענות נותנות 16, ולכן נבדוק n = 2:
12 · 3 + 13 · 4 = 212 + 112 = 14
I: 22 · 2 + 4 = 28 = 14
II: 23 · 3 = 29 ≠ 14
טענה II לא נכונה (דוגמה נגדית n = 2). נוכיח את טענה I.
✅ פתרון סופי: טענה I
סעיף ב – הוכחת טענה I באינדוקציה
נשים לב: 2n + 4 = 2(n + 2).
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: 12 · 3 = 16. אגף ימין:
12 + 4 = 16 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
12 · 3 + … + 1(k + 1)(k + 2)
= k2(k + 2)
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
12 · 3 + … + 1(k + 2)(k + 3)
= k + 12(k + 3)
נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה12 · 3 + … + 1(k + 1)(k + 2)= k2(k + 2)
= k2(k + 2) + 1(k + 2)(k + 3)
מכנה משותף 2(k + 2)(k + 3):
= k(k + 3) + 22(k + 2)(k + 3)
= k2 + 3k + 22(k + 2)(k + 3)
נפרק את המונה, ונבדוק בפתיחת סוגריים:📐 פתיחת סוגריים(k + 1)(k + 2)= k2 + 2k + k + 2= k2 + 3k + 2
= (k + 1)(k + 2)2(k + 2)(k + 3)
נצמצם את (k + 2):
= k + 12(k + 3) ✓
וזה בדיוק k + 12(k + 1) + 4.
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: טענה I הוכחה ✓
📌 סיכום
| בחירה | טענה I נכונה, II לא |
|---|---|
| הוכחה | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il