אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 5: מציאת פרמטר והוכחה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
תרגיל 5 – מציאת פרמטר והוכחה
📄 נוסח השאלה
נתון כי השוויון
1 + 4 + 7 + … + (3n − 2)
= n(3n + a)2
מתקיים בעבור n = 2. a הוא פרמטר.
א. מצאו את a.
ב. הציבו את הערך של a שמצאתם והוכיחו באינדוקציה כי השוויון מתקיים לכל n טבעי.
✏️ פתרון
סעיף א – מציאת a
בעבור n = 2 באגף שמאל יש שני איברים: 3 · 1 − 2 = 1 ו־3 · 2 − 2 = 4.
1 + 4 = 5
נציב n = 2 באגף ימין ונשווה:
2(3 · 2 + a)2 = 5
6 + a = 5
a = −1
✅ פתרון סופי: a = −1
סעיף ב – הוכחה באינדוקציה
נוכיח: 1 + 4 + … + (3n − 2) = n(3n − 1)2
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: 3 · 1 − 2 = 1.
אגף ימין:
1 · (3 − 1)2 = 22 = 1 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
1 + 4 + … + (3k − 2) = k(3k − 1)2
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
האיבר האחרון בעבור n = k + 1 הוא 3(k + 1) − 2 = 3k + 1.
1 + 4 + … + (3k − 2) + (3k + 1)
= (k + 1)(3k + 2)2
נציב את ההנחה במקום הסכום עד (3k − 2):📐 הנחת האינדוקציה1 + 4 + … + (3k − 2) = k(3k − 1)2
= k(3k − 1)2 + 3k + 1
מכנה משותף 2:
= 3k2 − k + 6k + 22
= 3k2 + 5k + 22
נבדוק את אגף ימין על ידי פתיחת סוגריים:📐 פתיחת סוגריים(a + b)(c + d)= ac + ad + bc + bd
(k + 1)(3k + 2)
= 3k2 + 2k + 3k + 2
= 3k2 + 5k + 2
לכן:
3k2 + 5k + 22 = (k + 1)(3k + 2)2 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | a = −1 |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il