שיעור 7: מכפלת חזקות של 2

פתרון בגרויות בשאלות הקצרות

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

מכפלות – תרגיל 1: מכפלת חזקות של 2

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:

2¹ · 2² · 2³ · … · 2ⁿ = 2^{n(n + 1)2}

✏️ פתרון

הוכחה באינדוקציה

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי

אגף שמאל: גורם אחד, 2¹ = 2.

אגף ימין:

2^{1 · 22} = 2¹ = 2 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

2¹ · 2² · … · 2^k = 2^{k(k + 1)2}

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

2¹ · … · 2^k · 2^{k + 1} = 2^{(k + 1)(k + 2)2}

נפריד את הגורם האחרון 2^{k + 1} ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה2¹ · … · 2^k = 2^{k(k + 1)2}

= 2^{k(k + 1)2} · 2^{k + 1}

כפל חזקות עם אותו בסיס – מחברים מעריכים:📐 חוקי חזקותa^m · aⁿ = a^{m + n}

= 2^{k(k + 1)2 + (k + 1)}

נסדר את המעריך – נוציא גורם משותף (k + 1):📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)

k(k + 1)2 + (k + 1)

= (k + 1)(k2 + 1)

= (k + 1)(k + 2)2

לכן:

2¹ · … · 2^{k + 1} = 2^{(k + 1)(k + 2)2} ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📌 סיכום

סעיף א	הוכחה

אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים

שיעור 7: מכפלת חזקות של 2

מכפלות – תרגיל 1: מכפלת חזקות של 2

הוכחה באינדוקציה

📌 סיכום

Modal title