אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 2: סכום המספרים האי־זוגיים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
תרגיל 2 – סכום המספרים האי־זוגיים
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:
1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2
✏️ פתרון
הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: איבר אחד, 2 · 1 − 1 = 1.
אגף ימין:
12 = 1 ✓
שני האגפים שווים.
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
1 + 3 + … + (2k − 1) = k2
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
האיבר האחרון בעבור n = k + 1 הוא 2(k + 1) − 1 = 2k + 1.
1 + 3 + … + (2k − 1) + (2k + 1)
= (k + 1)2
נציב את ההנחה במקום הסכום עד האיבר (2k − 1):📐 הנחת האינדוקציה1 + 3 + … + (2k − 1) = k2
1 + 3 + … + (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
זה בדיוק ריבוע של סכום:📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
= (k + 1)2 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il