שיעור 48: מודל ריבועי – פרבולה בסיפור

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

מודל ריבועי – פרבולה בסיפור

📘 מה לומדים

בבגרות מתארים מסלול (של כדור, קפיצה, מגלשה) בפונקציה ריבועית. הגרף שלה – פרבולה:

y = ax² + bx + c📐 פונקציה ריבועיתy = ax² + bx + ca < 0 – פרבולה "בוכה": לקודקוד גובה מרביa > 0 – פרבולה "מחייכת": לקודקוד גובה מזערי

בסיפור: x – המרחק האופקי, y – הגובה. ארבע שאלות חוזרות:

1. גובה בנקודה – מציבים את x ומקבלים את y. בהתחלה x = 0.

x = −b2a📐 שיעור ה־x של הקודקודx = −b2a

2. גובה מרבי (או מזערי) – בקודקוד: מוצאים את x בנוסחה, ומציבים אותו בפונקציה.

3. פגיעה בקרקע – הגובה y = 0. פותרים בנוסחת השורשים:

x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

4. בודקים משמעות – פתרון שלילי למרחק נפסל.

📄 דוגמה – מסלול של כדור

כדור נזרק, והמסלול שלו מתואר בפונקציה y = −0.5x² + 2x + 6 ( x – המרחק האופקי במטרים, y – הגובה במטרים).

א. מאיזה גובה נזרק הכדור?

ב. מהו הגובה המרבי של הכדור, ובאיזה מרחק הוא מתקבל?

ג. באיזה מרחק הכדור פוגע בקרקע?

ד. מה גובה הכדור במרחק 5 מטרים?

✏️ פתרון

סעיף א – גובה הזריקה

הזריקה היא בתחילת המסלול, במרחק x = 0:

y = −0.5x² + 2x + 6📐 ערך הפונקציה בנקודהמציבים את x בפונקציה

נציב x = 0:

y = −0.5 · 0² + 2 · 0 + 6 = 6

✅ פתרון סופי: 6 מטרים

סעיף ב – הגובה המרבי

a = −0.5 שלילי – הפרבולה "בוכה", ולקודקוד יש גובה מרבי.

x = −b2a📐 שיעור ה־x של הקודקודx = −b2a

נציב b = 2 , a = −0.5:

x = −22 · (−0.5) = −2−1 = 2

נציב את x = 2 בפונקציה:

y = −0.5x² + 2x + 6

נציב x = 2:

y = −0.5 · 2² + 2 · 2 + 6

y = −0.5 · 4 + 4 + 6 = −2 + 4 + 6 = 8

✅ פתרון סופי: גובה מרבי 8 מטרים, במרחק 2 מטרים

סעיף ג – פגיעה בקרקע

−0.5x² + 2x + 6 = 0📐 נקודה על ציר ה־xy = 0

נזהה: a = −0.5 , b = 2 , c = 6. נחשב קודם את מה שבתוך השורש:

b² − 4ac = b² − 4ac

נציב a = −0.5 , b = 2 , c = 6:

b² − 4ac = 2² − 4 · (−0.5) · 6 = 4 + 12 = 16

x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

נציב b = 2 , √b² − 4ac = √16 = 4 , a = −0.5:

x_1,2 = −2 ± 42 · (−0.5) = −2 ± 4−1

x₁ = −2 + 4−1 = 2−1 = −2

x₂ = −2 − 4−1 = −6−1 = 6

מרחק לא יכול להיות שלילי, ולכן x = −2 נפסל.

✅ פתרון סופי: הכדור פוגע בקרקע במרחק 6 מטרים

סעיף ד – הגובה במרחק 5 מטרים

y = −0.5x² + 2x + 6

נציב x = 5:

y = −0.5 · 5² + 2 · 5 + 6

y = −0.5 · 25 + 10 + 6 = −12.5 + 16 = 3.5

✅ פתרון סופי: 3.5 מטרים

📌 סיכום

פונקציה ריבועית	y = ax² + bx + c
גובה בנקודה	מציבים את x
גובה מרבי / מזערי	קודקוד: x = −b2a ואז מציבים
פגיעה בקרקע	y = 0 – נוסחת השורשים
משמעות	מרחק שלילי נפסל

מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 8 פרקים81 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים