שיעור 9: תכנון לינארי – אילוצים ותחום

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

תכנון לינארי – אילוצים ותחום

📘 מה לומדים

בשאלת תכנון לינארי יש שני משתנים, למשל x – מספר המוצרים מסוג אחד, y – מספר המוצרים מסוג שני.

1. אילוצים: כל מגבלה בסיפור הופכת לאי־שוויון. כמויות אינן שליליות, ולכן תמיד x ≥ 0 ו־y ≥ 0.📐 מילים ואי־שוויונות"לכל היותר" , "לא יותר מ־" ← ≤"לפחות" , "לא פחות מ־" ← ≥

2. שרטוט: כל אי־שוויון משרטטים כישר (במקום הסימן שמים =), לפי שתי נקודות החיתוך עם הצירים.📐 נקודות החיתוך עם הציריםעל ציר ה־y : x = 0על ציר ה־x : y = 0

3. הצד הנכון: מציבים נקודה, למשל (0 , 0). אם היא מקיימת את האי־שוויון – התחום בצד שלה.

4. קודקודים: נקודות המפגש של הישרים שתוחמים את התחום. מפגש של שני ישרים – פותרים מערכת משוואות.📐 מפגש שני ישריםפותרים את מערכת שתי המשוואות

📄 דוגמה – מאפייה

מאפייה מכינה בכל יום עוגות ופשטידות. נסמן ב־x את מספר העוגות וב־y את מספר הפשטידות שמכינים ביום.

ביום מכינים לכל היותר 10 מאפים בסך הכול. לכל עוגה צריך 1 ק"ג קמח, ולכל פשטידה 3 ק"ג קמח. במאפייה יש 18 ק"ג קמח ביום.

א. כתבו את מערכת האילוצים.

ב. מצאו את נקודות החיתוך של כל ישר עם הצירים, וסרטטו את התחום האפשרי.

ג. מצאו את קודקודי התחום האפשרי.

✏️ פתרון

סעיף א – האילוצים

מספרי מאפים אינם שליליים:

x ≥ 0 , y ≥ 0

לכל היותר 10 מאפים – הסימן ≤ :

x + y ≤ 10📐 מילים ואי־שוויונות"לכל היותר" , "לא יותר מ־" ← ≤"לפחות" , "לא פחות מ־" ← ≥

קמח: x עוגות צריכות x ק"ג, ו־y פשטידות צריכות 3y ק"ג, ויש לכל היותר 18 ק"ג:

x + 3y ≤ 18

✅ פתרון סופי: x ≥ 0 , y ≥ 0
x + y ≤ 10
x + 3y ≤ 18

סעיף ב – נקודות החיתוך והתחום

הישר הראשון:

x + y = 10📐 נקודות החיתוך עם הציריםעל ציר ה־y : x = 0על ציר ה־x : y = 0

נציב x = 0:

0 + y = 10

y = 10

נציב y = 0:

x + 0 = 10

x = 10

הישר השני:

x + 3y = 18📐 נקודות החיתוך עם הציריםעל ציר ה־y : x = 0על ציר ה־x : y = 0

נציב x = 0:

0 + 3y = 18

y = 6

נציב y = 0:

x + 3 · 0 = 18

x = 18

הצד הנכון: הנקודה (0 , 0) מקיימת 0 ≤ 10 וגם 0 ≤ 18 , ולכן התחום מתחת לשני הישרים, ברביע הראשון:

✅ פתרון סופי: הישר x + y = 10 עובר דרך (0 , 10) ו־(10 , 0) , הישר x + 3y = 18 דרך (0 , 6) ו־(18 , 0)

סעיף ג – קודקודי התחום

שלושה קודקודים כבר ידועים: ראשית הצירים (0 , 0) , (10 , 0) על ציר ה־x , ו־(0 , 6) על ציר ה־y.

שימו לב: ניקח את הנקודה הנמוכה יותר בכל ציר – (0 , 6) ולא (0 , 10) , ו־(10 , 0) ולא (18 , 0) – כי הנקודה צריכה לקיים את שני האילוצים.

x + 3y = 18 , x + y = 10📐 מפגש שני ישריםפותרים את מערכת שתי המשוואות

הקודקוד הרביעי – מפגש שני הישרים. נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

(x + 3y) − (x + y) = 18 − 10

2y = 8

y = 4

x + y = 10

נציב y = 4:

x + 4 = 10

x = 6

✅ פתרון סופי: הקודקודים: (0 , 0) , (10 , 0) , (6 , 4) , (0 , 6)

📌 סיכום

אילוצים	כל מגבלה ← אי־שוויון; תמיד x ≥ 0 , y ≥ 0
לכל היותר / לפחות	≤ / ≥
שרטוט ישר	שתי נקודות חיתוך עם הצירים: x = 0 ואז y = 0
הצד הנכון	מציבים (0 , 0)
קודקודים	מפגשי הישרים (פותרים מערכת) והנקודות על הצירים
בדוגמה	(0 , 0) , (10 , 0) , (6 , 4) , (0 , 6)

מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים