שיעור 26: בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 4 – מודל ריבועי: מסילה של רכבת הרים בצורת פרבולה

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 4
מודל ריבועי: מסילה של רכבת הרים בצורת פרבולה

📄 נוסח השאלה

בפארק שעשועים התקינו רכבת הרים על קרקע מישורית. אחד מן הקטעים של מסילת הרכבת הוא בצורת פרבולה. קטע מסילה זה מתחיל בנקודה A על ציר ה־y ומסתיים בנקודה B (ראו סרטוט).

קטע זה מתואר על ידי הפונקצייה f(x) = −0.25x² + 3x + 7. ציר ה־x מתאר את המרחק האופקי (במטרים) מן הנקודה A. ציר ה־y מתאר את גובה המסילה (במטרים) מעל הקרקע.

א. מצאו את גובה נקודת ההתחלה של קטע המסילה מעל הקרקע (הנקודה A).

ב. (1) מצאו את הגובה המקסימלי של קטע מסילה זה.

(2) מצאו בעבור אילו ערכים של x בקטע מסילה זה הרכבת נמצאת במגמת עלייה.

קטע המסילה מחובר לכמה עמודי תמיכה אנכיים המוצבים על הקרקע. אחד מעמודי התמיכה מחובר לקטע המסילה בנקודה B. נתון כי שיעור ה־x של הנקודה B הוא 13.

ג. מצאו את הגובה של עמוד תמיכה זה.

בקטע מסילה זה מותקנות כמה מצלמות אוטומטיות כדי לתעד את הנוסעים. המצלמות נמצאות בנקודות שבהן גובה קטע המסילה מעל הקרקע הוא 12 מטרים.

ד. מצאו את שיעורי ה־x של הנקודות שבהן המצלמות נמצאות בקטע מסילה זה.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – גובה הנקודה A

A על ציר ה־y, ולכן x = 0. נציב בפונקצייה:📐 כלל: נקודה על ציר ה־yx = 0

f(x) = −0.25x² + 3x + 7

f(0) = −0.25 · 0² + 3 · 0 + 7

f(0) = 7

✅ פתרון סופי: הגובה של A הוא 7 מטרים

סעיף ב (1) – הגובה המקסימלי

המקדם של x² שלילי (a = −0.25), ולכן הפרבולה "בוכה" והקדקוד שלה הוא נקודת המקסימום. נמצא את שיעור ה־x של הקדקוד, עם a = −0.25 , b = 3:📐 נוסחה: שיעור ה־x של קדקוד הפרבולהx = −b2a

x = −b2 · a

x = −32 · (−0.25) = −3−0.5 = 6

נציב x = 6 בפונקצייה כדי למצוא את הגובה:📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודהמציבים את ה־x בפונקצייה

f(x) = −0.25x² + 3x + 7

f(6) = −0.25 · 6² + 3 · 6 + 7

f(6) = −0.25 · 36 + 18 + 7

f(6) = −9 + 18 + 7 = 16

✅ פתרון סופי: הגובה המקסימלי הוא 16 מטרים (בנקודה (6 , 16))

סעיף ב (2) – מגמת עלייה

הפרבולה "בוכה", ולכן היא עולה משמאל לקדקוד, כלומר בעבור x קטן מ־6:📐 כלל: עלייה בפרבולה עם a שליליכש־a < 0 הפרבולה "בוכה": עולה משמאל לקדקוד ויורדת מימינו

קטע המסילה מתחיל בנקודה A שבה x = 0, ולכן בקטע המסילה הרכבת עולה בעבור:

0 < x < 6

✅ פתרון סופי: 0 < x < 6

סעיף ג – גובה עמוד התמיכה ב־B

העמוד אנכי ומחובר למסילה בנקודה B, ולכן אורכו הוא הגובה של המסילה בנקודה B, כלומר f(13):📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודהמציבים את ה־x בפונקצייה

f(x) = −0.25x² + 3x + 7

נציב x = 13:

f(13) = −0.25 · 13² + 3 · 13 + 7

f(13) = −0.25 · 169 + 39 + 7

f(13) = −42.25 + 39 + 7 = 3.75

✅ פתרון סופי: גובה העמוד 3.75 מטרים

סעיף ד – מיקום המצלמות

המצלמות בנקודות שבהן הגובה 12 מטרים, ולכן נפתור f(x) = 12:

f(x) = −0.25x² + 3x + 7

−0.25x² + 3x + 7 = 12

−0.25x² + 3x − 5 = 0

נכפול את שני האגפים ב־(−4) כדי לקבל מקדם 1 ל־x²:

x² − 12x + 20 = 0

נפתור בנוסחת השורשים, כאשר a = 1 , b = −12 , c = 20 :📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a

x_1,2 = −b ± √(b² − 4 · a · c)2 · a

x_1,2 = 12 ± √((−12)² − 4 · 1 · 20)2 · 1

x_1,2 = 12 ± √(144 − 80)2

x_1,2 = 12 ± √642 = 12 ± 82

x₁ = 12 + 82 = 202 = 10

x₂ = 12 − 82 = 42 = 2

שני הפתרונות נמצאים בין 0 ל־13, כלומר בתוך קטע המסילה.

בדיקה: f(2) = −1 + 6 + 7 = 12 ✓ , f(10) = −25 + 30 + 7 = 12 ✓

✅ פתרון סופי: x = 2 , x = 10

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א	7 מטרים
ב (1)	16 מטרים
ב (2)	0 < x < 6
ג	3.75 מטרים
ד	x = 2 , x = 10

מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים

שיעור 26: בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 4 – מודל ריבועי: מסילה של רכבת הרים בצורת פרבולה

📅 בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 4מודל ריבועי: מסילה של רכבת הרים בצורת פרבולה

סעיף א – גובה הנקודה A

סעיף ב (1) – הגובה המקסימלי

סעיף ב (2) – מגמת עלייה

סעיף ג – גובה עמוד התמיכה ב־B

סעיף ד – מיקום המצלמות

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

Modal title

📅 בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 4
מודל ריבועי: מסילה של רכבת הרים בצורת פרבולה