מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות
שיעור 31: בגרות חורף 2025 · שאלה 4 – מודל ריבועי: מגלשת המים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות חורף 2025 · שאלה 4
מודל ריבועי: מגלשת המים
📄 נוסח השאלה
בפארק מים יש מגלשת מים שצורתה היא פרבולה שמשוואתה y = x2 − 6x + 11. למגלשה עולים מסולם אנכי המתחיל בקרקע, בנקודה O (ראשית הצירים), ומסתיים בנקודה A.
ציר ה־x מונח על הקרקע ומתאר את המרחק (במטרים) מן הסולם. ציר ה־y מתאר את גובה המגלשה (במטרים) מעל הקרקע.
נועם התחיל להתגלש במגלשה מן הנקודה A. הוא המשיך עד לנקודה B ומשם חזר לנקודה C, כמתואר בסרטוט. הנקודה C היא נקודת המינימום של הפרבולה.
א. מצאו את גובה הסולם (AO).
ב. מצאו באיזה גובה מעל הקרקע נמצאת הנקודה C.
נקודה B נמצאת בגובה 6 מטרים מעל הקרקע.
ג. מצאו את שיעור ה־x של הנקודה B.
ד. מצאו בעבור אילו ערכים של x היה נועם במגמת עלייה.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – גובה הסולם
הסולם על ציר ה־y , והנקודה A היא החיתוך של הפרבולה עם ציר ה־y:
y = x2 − 6x + 11
נציב x = 0:
y = 02 − 6 · 0 + 11 = 11
✅ פתרון סופי: AO = 11 מטרים
סעיף ב – הגובה של C
C הוא קודקוד הפרבולה:
x = −b2a📐 קודקוד פרבולהלפרבולה y = ax² + bx + cx = −b2a
נציב b = −6 , a = 1:
x = −(−6)2 · 1
x = 62 = 3
y = x2 − 6x + 11
נציב x = 3:
y = 32 − 6 · 3 + 11
y = 9 − 18 + 11 = 2
✅ פתרון סופי: 2 מטרים
סעיף ג – שיעור ה־x של B
y = x2 − 6x + 11
נציב y = 6:
x2 − 6x + 11 = 6
x2 − 6x + 5 = 0
x1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
נציב a = 1 , b = −6 , c = 5:
x1,2 = −(−6) ± √(−6)2 − 4 · 1 · 52 · 1
b2 − 4ac = 36 − 20 = 16
√16 = 4
x1 = 6 + 42 = 5
x2 = 6 − 42 = 1
בגובה 6 המגלשה עוברת פעמיים: ב־x = 1 (בדרך למטה, לפני C) וב־x = 5 (אחרי C). לפי הסרטוט B נמצאת מימין ל־C:
✅ פתרון סופי: xB = 5
סעיף ד – מגמת עלייה
a = 1 חיובי – הפרבולה "מחייכת" (קודקוד מינימום ב־x = 3). משמאל לקודקוד היא יורדת ומימינו עולה.
נועם עלה מ־C (x = 3) עד B (x = 5):
✅ פתרון סופי: 3 < x < 5
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | 11 מטרים |
|---|---|
| סעיף ב | 2 מטרים |
| סעיף ג | x = 5 |
| סעיף ד | 3 < x < 5 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il