מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות
שיעור 30: בגרות קיץ 2025 מועד א' · שאלה 4 – מודל ריבועי: מסלול הכדור לסל
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות קיץ 2025 מועד א' · שאלה 4
מודל ריבועי: מסלול הכדור לסל
📄 נוסח השאלה
נועה זרקה כדור לסל. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא y = −0.5x2 + 2x + 2, כמתואר בסרטוט. ציר ה־x מייצג את המרחק האופקי (במטרים) של הכדור מנקודת הזריקה. ציר ה־y מייצג את גובה הכדור מעל הקרקע (במטרים).
א. מצאו את הגובה שממנו זרקה נועה את הכדור.
ב. מצאו את הגובה המקסימלי שאליו הגיע הכדור.
ג. מצאו בעבור אילו ערכים של x היה הכדור במגמת עלייה.
כאשר הכדור הגיע לסל הוא היה בגובה 3.02 מטר.
ד. מצאו את שיעור ה־x של הכדור כאשר הוא הגיע לסל.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – גובה הזריקה
בנקודת הזריקה המרחק האופקי הוא 0. נציב x = 0:
y = −0.5x2 + 2x + 2
y = −0.5 · 02 + 2 · 0 + 2 = 2
✅ פתרון סופי: 2 מטרים
סעיף ב – הגובה המקסימלי
הגובה המקסימלי – בקודקוד הפרבולה. כאן a = −0.5 , b = 2:
x = −b2a📐 קודקוד פרבולהלפרבולה y = ax² + bx + cx = −b2a
x = −22 · (−0.5) = −2−1 = 2
נציב x = 2 בפרבולה:
y = −0.5x2 + 2x + 2
y = −0.5 · 22 + 2 · 2 + 2
y = −2 + 4 + 2 = 4
✅ פתרון סופי: 4 מטרים
סעיף ג – מגמת עלייה
a = −0.5 שלילי – הפרבולה "בוכה" (קודקוד מקסימום). לכן היא עולה משמאל לקודקוד ויורדת מימינו.
הכדור יוצא מ־x = 0 ועולה עד הקודקוד ב־x = 2:
✅ פתרון סופי: 0 < x < 2
סעיף ד – שיעור ה־x בסל
y = −0.5x2 + 2x + 2
נציב y = 3.02:
−0.5x2 + 2x + 2 = 3.02
−0.5x2 + 2x − 1.02 = 0
נכפול ב־−2:
x2 − 4x + 2.04 = 0
a = 1 , b = −4 , c = 2.04:
x1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
x1,2 = 4 ± √(−4)2 − 4 · 1 · 2.042 · 1📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
b2 − 4ac = 16 − 8.16 = 7.84
√7.84 = 2.8
x1 = 4 + 2.82 = 3.4
x2 = 4 − 2.82 = 0.6
בגובה 3.02 הכדור היה פעמיים: בעלייה (x = 0.6) ובירידה (x = 3.4). לפי הסרטוט הכדור נכנס לסל בירידה – אחרי הקודקוד (x > 2).
✅ פתרון סופי: x = 3.4 מטרים
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | 2 מטרים |
|---|---|
| סעיף ב | 4 מטרים |
| סעיף ג | 0 < x < 2 |
| סעיף ד | x = 3.4 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il