שיעור 6: בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 3 – התפלגות נורמלית: תחרות קפיצה לגובה

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 3
התפלגות נורמלית: תחרות קפיצה לגובה

📄 נוסח השאלה

בבית ספר מסוים נערכה תחרות קפיצה לגובה. התוצאות שהשיגו המשתתפים בתחרות התפלגו נורמלית, וסטיית התקן הייתה 0.2.

התוצאות שהשיגו 16% מן המשתתפים היו נמוכות מ־1.2 מטר.

א. (1) מצאו את התוצאה הממוצעת בתחרות.

(2) בסוף השאלה מוצג גרף ההתפלגות הנורמלית. השלימו במלבנים הריקים שבגרף את התוצאות בתחרות.

ב. מצאו את אחוז המשתתפים בתחרות שהתוצאה שלהם הייתה גבוהה מ־1.5 מטר.

התוצאות של 62 משתתפים היו גבוהות מ־1.5 מטר.

ג. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה משתתפים סך הכול השתתפו בתחרות?

2% מן המשתתפים, אלה שהשיגו את התוצאות הגבוהות ביותר בתחרות, קיבלו מדליה. התוצאה של דני בתחרות הייתה 1.73 מטר.

ד. האם דני קיבל מדליה? נמקו את תשובתכם.

אריאל השתתף בתחרות, וציון התקן של התוצאה שלו היה 2.4.

ה. מי השיג תוצאה גבוהה יותר בתחרות, דני או אריאל? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – התוצאה הממוצעת

16% מהמשתתפים קפצו פחות מ־1.2 מטר. נצבור אחוזים מהקצה השמאלי של הגרף:📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמליתכל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)

0.5% + 1.5% + 5% + 9% = 16%

כלומר 1.2 נמצא שני מלבנים משמאל לממוצע (המלבנים של 15% ושל 19%). כל מלבן הוא חצי סטיית תקן, ולכן 1.2 נמוך מהממוצע בסטיית תקן אחת שלמה, כלומר ב־0.2:

ממוצע = 1.2 + סטיית תקן

נציב סטיית תקן = 0.2:

ממוצע = 1.2 + 0.2 = 1.4

✅ פתרון סופי: התוצאה הממוצעת היא 1.4 מטר

סעיף א (2) – הערכים בגרף

כל מלבן הוא חצי סטיית תקן:📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמליתכל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)

רוחב מלבן = סטיית תקן2

נציב סטיית תקן = 0.2:

רוחב מלבן = 0.22 = 0.1

באמצע הגרף הממוצע 1.4. כל קו ימינה מוסיף 0.1, וכל קו שמאלה מוריד 0.1:

1.5 , 1.6 , 1.7 , 1.8 , 1.9

ושמאלה:

1.3 , 1.2 , 1.1 , 1 , 0.9

✅ פתרון סופי: משמאל לימין:
0.9 , 1 , 1.1 , 1.2
1.3 , 1.4 , 1.5 , 1.6
1.7 , 1.8 , 1.9

סעיף ב – אחוז המשתתפים מעל 1.5

1.5 נמצא מלבן אחד מימין לממוצע. נחבר את כל המלבנים שמימין ל־1.5:📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמליתכל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)

15% + 9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 31%

דרך נוספת: מימין לממוצע יש 50%, ומהם 19% בין 1.4 ל־1.5:

50% − 19% = 31%

✅ פתרון סופי: 31%

סעיף ג – מספר המשתתפים

62 משתתפים הם 31% מכלל המשתתפים. נסמן ב־n את מספר המשתתפים:📐 כלל: חלק מתוך כמותחלק = אחוז · כמות כוללת

אחוז · n = חלק

נציב אחוז = 0.31 , חלק = 62:

0.31 · n = 62

n = 620.31 = 200

✅ פתרון סופי: 200 משתתפים

סעיף ד – האם דני קיבל מדליה?

המדליה ניתנה ל־2% העליונים. נצבור אחוזים מהקצה הימני של הגרף:📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמליתכל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)

0.5% + 1.5% = 2%

כלומר מי שקפץ יותר מ־1.8 מטר קיבל מדליה. דני קפץ 1.73 מטר:

1.73 < 1.8

✅ פתרון סופי: לא, דני לא קיבל מדליה (1.73 נמוך מ־1.8)

סעיף ה – דני או אריאל?

נחשב את התוצאה של אריאל מציון התקן שלו. ציון תקן 2.4 פירושו 2.4 סטיות תקן מעל הממוצע:📐 נוסחה: ערך מתוך ציון תקןx = ממוצע + z · סטיית תקן

x = ממוצע + z · סטיית תקן

נציב ממוצע = 1.4 , z = 2.4 , סטיית תקן = 0.2:

x = 1.4 + 2.4 · 0.2

x = 1.4 + 0.48 = 1.88

אריאל קפץ 1.88 מטר, ודני 1.73 מטר:

1.88 > 1.73

דרך נוספת: ציון התקן של דני הוא 1.73 − 1.40.2 = 1.65, וזה פחות מ־2.4.

✅ פתרון סופי: אריאל השיג תוצאה גבוהה יותר (1.88 מטר)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א (1)	1.4 מטר
א (2)	0.9 , 1 , … , 1.9 (קפיצות של 0.1)
ב	31%
ג	200 משתתפים
ד	לא
ה	אריאל

מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים