מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות
שיעור 22: בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: משולש ישר זווית ABC
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 2
גאומטרייה אנליטית: משולש ישר זווית ABC
📄 נוסח השאלה
נתון משולש ישר זווית ABC (הזווית B ישרה). הקודקודים A ו־C נמצאים על ציר ה־y, כמתואר בסרטוט.
משוואת הצלע AB היא y = −45x + 24.
א. מצאו את שיעורי הקודקוד A.
נתון: C(0 , −17).
ב. (1) מצאו את משוואת הצלע BC.
(2) מצאו את שיעורי הקודקוד B.
הנקודה E היא אמצע הצלע AB.
ג. מצאו את שיעורי הנקודה E.
הנקודה K היא נקודת החיתוך של הצלע BC עם ציר ה־x.
ד. (1) מצאו את שיעורי הנקודה K.
(2) מצאו את שטח המשולש EBK.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – שיעורי A
A על ציר ה־y, ולכן x = 0. נציב במשוואת AB:📐 כלל: נקודה על ציר ה־yx = 0
y = −45x + 24
נציב x = 0:
y = −45 · 0 + 24 = 24
A(0 , 24)
✅ פתרון סופי: A(0 , 24)
סעיף ב (1) – משוואת BC
שיפוע AB:📐 כלל: שיפוע מתוך משוואת ישרy = mx + nהמקדם של x הוא השיפוע m
mAB = −45
הזווית B ישרה, ולכן BC מאונכת ל־AB ומכפלת השיפועים היא −1:📐 כלל: ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mAB · mBC = −1
נציב mAB = −45:
−45 · mBC = −1
mBC = 54
הישר BC עובר דרך C(0 , −17):📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y − y1 = m(x − x1)
נציב m = 54 , C = (0 , −17):
y − (−17) = 54(x − 0)
y = 54x − 17
✅ פתרון סופי: y = 54x − 17
סעיף ב (2) – שיעורי B
B היא נקודת המפגש של AB ו־BC. נשווה:📐 כלל: מפגש שני ישריםפותרים את מערכת שתי המשוואות
−45x + 24 = 54x − 17
נכפול את שני האגפים ב־20 כדי להיפטר מהשברים:
−16x + 480 = 25x − 340
480 + 340 = 25x + 16x
820 = 41x
x = 20
y = −45x + 24
נציב x = 20:
y = −45 · 20 + 24
y = −16 + 24 = 8
B(20 , 8)
✅ פתרון סופי: B(20 , 8)
סעיף ג – שיעורי E
E אמצע AB, כאשר A(0 , 24) ו־B(20 , 8):📐 נוסחה: אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
xE = xA + xB2
xE = 0 + 202 = 10
yE = yA + yB2
yE = 24 + 82 = 16
E(10 , 16)
✅ פתרון סופי: E(10 , 16)
סעיף ד (1) – שיעורי K
K על ציר ה־x, ולכן y = 0. נציב במשוואת BC:📐 כלל: נקודה על ציר ה־xy = 0
y = 54x − 17
0 = 54x − 17
54x = 17
x = 17 · 45 = 13.6
K(13.6 , 0)
✅ פתרון סופי: K(13.6 , 0)
סעיף ד (2) – שטח המשולש EBK
E על הצלע AB ו־K על הצלע BC, והזווית B ישרה. לכן המשולש EBK ישר זווית ב־B, והניצבים שלו הם EB ו־BK.📐 נוסחה: שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
נחשב את אורכי הניצבים:📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
EB = √((xB − xE)2 + (yB − yE)2)
נציב B = (20 , 8) , E = (10 , 16):
EB = √((20 − 10)2 + (8 − 16)2)
EB = √(100 + 64) = √164
BK = √((xB − xK)2 + (yB − yK)2)
נציב B = (20 , 8) , K = (13.6 , 0):
BK = √((20 − 13.6)2 + (8 − 0)2)
BK = √(40.96 + 64) = √104.96
S = EB · BK2
נציב EB = √164 , BK = √104.96:
S = √164 · √104.962
S = √17213.442 = 131.22 = 65.6
✅ פתרון סופי: שטח המשולש 65.6 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| א | A(0 , 24) |
|---|---|
| ב (1) | y = 54x − 17 |
| ב (2) | B(20 , 8) |
| ג | E(10 , 16) |
| ד (1) | K(13.6 , 0) |
| ד (2) | 65.6 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il