שיעור 10: פונקציית המטרה – רווח מקסימלי

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

פונקציית המטרה – רווח מקסימלי

📘 מה לומדים

אחרי שמצאנו את התחום האפשרי ואת הקודקודים שלו, מחפשים את הנקודה שבה הרווח הכי גדול (או המחיר הכי קטן).

הרווח הכולל נקרא פונקציית המטרה:📐 פונקציית המטרהf(x , y) = a · x + b · ya , b – הרווח (או המחיר) של יחידה מכל סוג

אין צורך לבדוק את כל הנקודות בתחום:📐 איפה הערך הגדול / הקטן ביותרבאחד מקודקודי התחום – מציבים כל קודקוד ומשווים

בשאלת רווח בוחרים את הערך הגדול ביותר, ובשאלת הוצאות – את הקטן ביותר.

נקודה מחוץ לתחום אסורה, גם אם הרווח בה גבוה:📐 נקודה בתחוםהנקודה מקיימת את כל האילוצים

📄 דוגמה

נגרייה מייצרת שולחנות וכיסאות. נסמן ב־ x את מספר השולחנות וב־ y את מספר הכיסאות. האילוצים:

x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 12 , 2x + y ≤ 18

קודקודי התחום האפשרי: O(0 , 0) , A(0 , 12) , B(6 , 6) , C(9 , 0).

הרווח משולחן הוא 50 שקלים ומכיסא 30 שקלים.

א. כתבו את פונקציית המטרה.

ב. כמה שולחנות וכמה כיסאות צריך לייצר כדי שהרווח יהיה מקסימלי? מהו הרווח?

ג. האם אפשר לייצר 7 שולחנות ו־5 כיסאות?

✏️ פתרון

סעיף א – פונקציית המטרה

f(x , y) = a · x + b · y📐 פונקציית המטרהf(x , y) = a · x + b · ya , b – הרווח (או המחיר) של יחידה מכל סוג

נציב a = 50 , b = 30:

f(x , y) = 50x + 30y

✅ פתרון סופי: f(x , y) = 50x + 30y

סעיף ב – הרווח המקסימלי

f = 50x + 30y📐 איפה הערך הגדול / הקטן ביותרבאחד מקודקודי התחום – מציבים כל קודקוד ומשווים

בנקודה O – נציב x = 0 , y = 0:

f = 50 · 0 + 30 · 0 = 0

בנקודה A – נציב x = 0 , y = 12:

f = 50 · 0 + 30 · 12 = 360

בנקודה B – נציב x = 6 , y = 6:

f = 50 · 6 + 30 · 6 = 480

בנקודה C – נציב x = 9 , y = 0:

f = 50 · 9 + 30 · 0 = 450

הערך הגדול ביותר הוא 480, בנקודה B .

✅ פתרון סופי: 6 שולחנות ו־6 כיסאות, רווח 480 שקלים

סעיף ג – האם הנקודה בתחום

נבדוק את הנקודה (7 , 5) בכל האילוצים:📐 נקודה בתחוםהנקודה מקיימת את כל האילוצים

x + y ≤ 12

נציב x = 7 , y = 5:

7 + 5 = 12

12 לא גדול מ־12 – האילוץ הזה מתקיים.

2x + y ≤ 18

נציב x = 7 , y = 5:

2 · 7 + 5 = 19

19 > 18

האילוץ השני לא מתקיים, ולכן הנקודה מחוץ לתחום. (הרווח בה, 500, היה גבוה מ־480 – אבל אין מספיק זמן לייצר אותה.)

✅ פתרון סופי: לא – הנקודה (7 , 5) מחוץ לתחום

📌 סיכום

פונקציית המטרה	f(x , y) = a · x + b · y
מקסימום / מינימום	מציבים את כל קודקודי התחום ומשווים
נקודה בתחום	מקיימת את כל האילוצים
דוגמה	f = 50x + 30y ; מקסימום 480 ב־B(6 , 6) ; (7 , 5) מחוץ לתחום

מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים