שיעור 12: בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 1 – תכנון ליניארי: תחום אפשרי ורווח מקסימלי במסעדה

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 1
תכנון ליניארי: תחום אפשרי ורווח מקסימלי במסעדה

📄 נוסח השאלה

במסעדה מסוימת מכינים בכל יום מנות משני סוגים – מנה צמחונית ומנה בשרית.

נסמן ב־x את מספר המנות הצמחוניות וב־y את מספר המנות הבשריות שמכינים במסעדה ביום אחד.

לפניכם מערכת האילוצים של הכנת המנות במסעדה זו ביום אחד:

x ≥ 0

y ≥ 0

x + 5y ≤ 100

x + 2y ≤ 58

א. סרטטו את התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים הנתונה.

הרווח של המסעדה ממכירה של מנה צמחונית אחת הוא 25 שקלים, והרווח ממכירה של מנה בשרית אחת הוא 55 שקלים.

ב. (1) כתבו את פונקציית המטרה של רווח המסעדה ממכירת המנות.

(2) כמה מנות מכל סוג צריך למכור במסעדה ביום אחד כדי שהרווח יהיה מקסימלי?

מנהל המסעדה החליט לשנות את מחירי המנות. בעקבות זאת הרווח ממכירה של מנה צמחונית אחת קטן ב־10%, והרווח ממכירה של מנה בשרית אחת גדל ב־20%.

ג. (1) מצאו את הרווח ממכירה של מנה צמחונית אחת ואת הרווח ממכירה של מנה בשרית אחת לאחר השינוי במחירים.

(2) מצאו בכמה גדל הרווח המקסימלי של המסעדה ביום אחד לאחר השינוי במחירים.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – התחום האפשרי

x ≥ 0 ו־y ≥ 0: התחום ברביע הראשון.

נסרטט כל ישר לפי שתי נקודות חיתוך עם הצירים:

x + 5y = 100: כש־x = 0 מקבלים y = 20; כש־y = 0 מקבלים x = 100.

x + 2y = 58: כש־x = 0 מקבלים y = 29; כש־y = 0 מקבלים x = 58.

הסימן ≤ – התחום מתחת לכל אחד מהישרים (הנקודה (0 , 0) מקיימת את שני האי־שוויונים: 0 ≤ 100, 0 ≤ 58).

נקודת החיתוך של שני הישרים – נחסר את המשוואות:

x + 5y = 100

x + 2y = 58

נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

3y = 42

y = 14

x + 2y = 58

נציב y = 14:

x + 2 · 14 = 58

x = 58 − 28 = 30

התחום האפשרי (בירוק) הוא המרובע שקודקודיו (0 , 0), (58 , 0), (30 , 14), (0 , 20).

✅ פתרון סופי: מרובע עם הקודקודים (0 , 0), (58 , 0), (30 , 14), (0 , 20) (בסרטוט)

סעיף ב (1) – פונקציית המטרה

הרווח: 25 שקלים לכל אחת מ־x המנות הצמחוניות, ו־55 שקלים לכל אחת מ־y המנות הבשריות:

f(x , y) = 25x + 55y

✅ פתרון סופי: f(x , y) = 25x + 55y

סעיף ב (2) – הרווח המקסימלי

נציב את קודקודי התחום בפונקציית המטרה:📐 מקסימום בתכנון ליניאריהערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום האפשרי

f(x , y) = 25 · x + 55 · y

נציב x = 0 , y = 0:

f(0 , 0) = 25 · 0 + 55 · 0

f(0 , 0) = 0

נציב x = 58 , y = 0:

f(58 , 0) = 25 · 58 + 55 · 0

f(58 , 0) = 1,450

נציב x = 30 , y = 14:

f(30 , 14) = 25 · 30 + 55 · 14

f(30 , 14) = 1,520

נציב x = 0 , y = 20:

f(0 , 20) = 25 · 0 + 55 · 20

f(0 , 20) = 1,100

הערך הגדול ביותר – 1,520 שקלים, בקודקוד (30 , 14).

✅ פתרון סופי: 30 מנות צמחוניות ו־14 מנות בשריות (רווח 1,520 שקלים)

סעיף ג (1) – הרווחים החדשים

מנה צמחונית – הרווח קטן ב־10%:

ערך חדש = ערך · 100 − האחוז100

נציב ערך = 25 , האחוז = 10:

ערך חדש = 25 · 100 − 10100 = 25 · 0.9📐 שינוי באחוזיםערך חדש = ערך · 100 ± האחוז100

ערך חדש = 25 · 100 − 10100 = 22.5

מנה בשרית – הרווח גדל ב־20%:

ערך חדש = ערך · 100 + האחוז100

נציב ערך = 55 , האחוז = 20:

ערך חדש = 55 · 100 + 20100 = 55 · 1.2📐 שינוי באחוזיםערך חדש = ערך · 100 ± האחוז100

ערך חדש = 55 · 100 + 20100 = 66

✅ פתרון סופי: צמחונית 22.5 שקלים, בשרית 66 שקלים

סעיף ג (2) – בכמה גדל הרווח המקסימלי

פונקציית המטרה החדשה:

f(x , y) = 22.5x + 66y

התחום האפשרי לא השתנה (האילוצים אותם אילוצים). נציב שוב את הקודקודים:

נבדוק את ערך הפונקציה בכל קודקוד:📐 מקסימום בתכנון ליניאריהערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום האפשרי

f(x , y) = 22.5 · x + 66 · y

נציב x = 0 , y = 0:

f(0 , 0) = 22.5 · 0 + 66 · 0

f(0 , 0) = 0

נציב x = 58 , y = 0:

f(58 , 0) = 22.5 · 58 + 66 · 0

f(58 , 0) = 1,305

נציב x = 30 , y = 14:

f(30 , 14) = 22.5 · 30 + 66 · 14

f(30 , 14) = 1,599

נציב x = 0 , y = 20:

f(0 , 20) = 22.5 · 0 + 66 · 20

f(0 , 20) = 1,320

הרווח המקסימלי החדש 1,599 שקלים (שוב בקודקוד (30 , 14)).

ההפרש:

1,599 − 1,520 = 79

✅ פתרון סופי: גדל ב־79 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א	מרובע: (0 , 0), (58 , 0), (30 , 14), (0 , 20)
ב (1)	f = 25x + 55y
ב (2)	30 צמחוניות, 14 בשריות
ג (1)	22.5 ו־66 שקלים
ג (2)	ב־79 שקלים

מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים