מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות
שיעור 29: בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 4 – מודל ריבועי: גשר בצורת פרבולה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 4
מודל ריבועי: גשר בצורת פרבולה
📄 נוסח השאלה
מעל נהר בנו גשר בצורת פרבולה שמשוואתה היא y = −0.1x2 + 0.8x. הגשר מתחיל בנקודה O ומסתיים בנקודה B, כמתואר בסרטוט.
ציר ה־x מייצג את המרחק האופקי (במטרים) מן הנקודה O, וציר ה־y מייצג את הגובה (במטרים) מעל פני המים.
א. מצאו את שיעורי הנקודות O ו־B.
ב. מצאו את הגובה המקסימלי של הגשר.
יוסי הלך על הגשר. הוא התחיל בנקודה O וסיים בנקודה B.
ג. (1) מצאו בעבור אילו ערכים של x הלך יוסי על הגשר במגמת ירידה.
(2) כאשר יוסי הלך על הגשר במגמת ירידה, הוא עבר בנקודה שהגובה שלה מעל פני המים הוא 1.2 מטרים. מצאו את שיעור ה־x של נקודה זו.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – שיעורי O ו־B
הנקודות O ו־B על ציר ה־x, ולכן y = 0:📐 כלל: נקודה על ציר ה־xy = 0
y = −0.1x2 + 0.8x
נציב y = 0:
−0.1x2 + 0.8x = 0
נוציא גורם משותף x:📐 כלל: מכפלה ששווה לאפסמכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
x(−0.1x + 0.8) = 0
x = 0
או
−0.1x + 0.8 = 0
0.1x = 0.8
x = 8
O היא ראשית הצירים ו־B הנקודה השנייה:
✅ פתרון סופי: O(0 , 0)
B(8 , 0)
B(8 , 0)
סעיף ב – הגובה המקסימלי
המקדם של x2 שלילי (a = −0.1), ולכן הפרבולה "עצובה" והקדקוד הוא הנקודה הגבוהה ביותר. נציב a = −0.1 , b = 0.8:📐 נוסחה: שיעור ה־x של קדקוד הפרבולהx = −b2a
x = −b2a
x = −0.82 · (−0.1) = −0.8−0.2 = 4
נציב x = 4 במשוואת הגשר:📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודהמציבים את ה־x בפונקצייה
y = −0.1x2 + 0.8x
y = −0.1 · 42 + 0.8 · 4
y = −1.6 + 3.2 = 1.6
✅ פתרון סופי: הגובה המקסימלי הוא 1.6 מטרים
סעיף ג (1) – מגמת ירידה
הפרבולה "עצובה", ולכן היא יורדת מימין לקדקוד, כלומר בעבור x גדול מ־4. הגשר מסתיים ב־B שבה x = 8:📐 כלל: ירידה בפרבולה עם a שליליכש־a < 0 הפרבולה "עצובה": עולה משמאל לקדקוד ויורדת מימינו
4 < x < 8
✅ פתרון סופי: 4 < x < 8
סעיף ג (2) – הנקודה בגובה 1.2 מטרים
y = −0.1x2 + 0.8x
נציב y = 1.2 במשוואת הגשר:
−0.1x2 + 0.8x = 1.2
−0.1x2 + 0.8x − 1.2 = 0
נכפול את שני האגפים ב־(−10) כדי לקבל מקדמים שלמים:
x2 − 8x + 12 = 0
נזהה את המקדמים:📐 נוסחה: נוסחת השורשיםax2 + bx + c = 0x1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
a = 1
b = −8
c = 12
נחשב קודם את הביטוי שבתוך השורש:
b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 12
b2 − 4ac = 64 − 48
b2 − 4ac = 16
√16 = 4
נציב בנוסחת השורשים:
x1,2 = −(−8) ± 42 · 1 = 8 ± 42
x1 = 8 + 42 = 6
x2 = 8 − 42 = 2
יוסי הלך במגמת ירידה, כלומר בתחום 4 < x < 8 (סעיף ג (1)). הפתרון x = 2 נמצא בחלק העולה של הגשר, ולכן הוא לא מתאים. הפתרון המתאים הוא x = 6.
בדיקה:
y = −0.1x2 + 0.8x
נציב x = 6:
y = −0.1 · 62 + 0.8 · 6
y = −0.1 · 36 + 0.8 · 6
y = −3.6 + 4.8 = 1.2 ✓
✅ פתרון סופי: x = 6
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| א | O(0 , 0) B(8 , 0) |
|---|---|
| ב | 1.6 מטרים |
| ג (1) | 4 < x < 8 |
| ג (2) | x = 6 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il