שיעור 16: בגרות חורף 2025 · שאלה 1 – תכנון ליניארי: ספות וכורסאות

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות חורף 2025 · שאלה 1
תכנון ליניארי: ספות וכורסאות

📄 נוסח השאלה

במפעל לייצור רהיטים מכינים שני סוגים של רהיטים: ספות וכורסאות. בתהליך הייצור יש שני שלבים: שלב חיתוך העץ ושלב הריפוד. במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את מכונת החיתוך במשך 32 שעות לכל היותר ואת מכונת הריפוד במשך 36 שעות לכל היותר.

בטבלה שלפניכם מוצג מספר השעות הנדרש לייצור כל אחד מסוגי הרהיטים.

	חיתוך (שעות)	ריפוד (שעות)
ספה	4	2
כורסה	2	6

נסמן ב־x את מספר הספות וב־y את מספר הכורסאות שמייצרים במפעל במחזור ייצור אחד.

א. כתבו את מערכת האילוצים של הבעיה.

ב. סרטטו את התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים.

הרווח של המפעל מכל ספה הוא 400 שקלים ומכל כורסה 700 שקלים.

ג. (1) כתבו את פונקציית המטרה.

(2) כמה ספות וכמה כורסאות על המפעל לייצר במחזור ייצור אחד כדי להרוויח רווח מקסימלי?

באחד ממחזורי הייצור ייצרו במפעל כורסאות בלבד. במחזור זה ייצרו את מספר הכורסאות המקסימלי האפשרי.

ד. כמה כורסאות ייצרו במפעל במחזור ייצור זה?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – מערכת האילוצים

מספרים לא שליליים:

x ≥ 0 , y ≥ 0

מכונת החיתוך: 4 שעות לספה, 2 לכורסה, לכל היותר 32 שעות:

4x + 2y ≤ 32

מכונת הריפוד: 2 שעות לספה, 6 לכורסה, לכל היותר 36 שעות:

2x + 6y ≤ 36

✅ פתרון סופי: x ≥ 0 , y ≥ 0 ; 4x + 2y ≤ 32 ; 2x + 6y ≤ 36

סעיף ב – סרטוט התחום האפשרי

נמצא לכל ישר את נקודות החיתוך עם הצירים.

4x + 2y = 32

נציב x = 0:

4 · 0 + 2y = 32

2y = 32

y = 16

נציב y = 0:

4x + 2 · 0 = 32

4x = 32

x = 8

2x + 6y = 36

נציב x = 0:

2 · 0 + 6y = 36

6y = 36

y = 6

נציב y = 0:

2x + 6 · 0 = 36

2x = 36

x = 18

נקודת החיתוך של שני הישרים. נחלק את הראשון ב־2 ואת השני ב־2:

2x + y = 16

x + 3y = 18

מהשנייה: x = 18 − 3y.

2x + y = 16

נציב x = 18 − 3y:

2(18 − 3y) + y = 16

36 − 6y + y = 16

−5y = −20

y = 4

x = 18 − 3y

נציב y = 4:

x = 18 − 3 · 4 = 6

התחום האפשרי נמצא מתחת לשני הישרים וברביע הראשון (צבוע):

✅ פתרון סופי: מרובע שקודקודיו (0 , 0) , (8 , 0) , (6 , 4) , (0 , 6)

סעיף ג – פונקציית המטרה והרווח המקסימלי

(1) 400 שקלים לכל ספה ו־700 לכל כורסה:

f(x , y) = 400x + 700y

(2) נציב את קודקודי התחום בפונקציית המטרה:

f = 400x + 700y

בנקודה (0 , 0) נציב x = 0 , y = 0:

f = 400 · 0 + 700 · 0 = 0

בנקודה (8 , 0) נציב x = 8 , y = 0:

f = 400 · 8 + 700 · 0 = 3,200

בנקודה (0 , 6) נציב x = 0 , y = 6:

f = 400 · 0 + 700 · 6 = 4,200

בנקודה (6 , 4) נציב x = 6 , y = 4:

f = 400 · 6 + 700 · 4

f = 2,400 + 2,800 = 5,200

הרווח הגדול ביותר – 5,200 שקלים, בנקודה (6 , 4).

✅ פתרון סופי: (1) f(x , y) = 400x + 700y ; (2) 6 ספות ו־4 כורסאות

סעיף ד – כורסאות בלבד

כורסאות בלבד – x = 0. נבדוק את שני האילוצים:

4x + 2y ≤ 32

4 · 0 + 2y ≤ 32

2y ≤ 32

y ≤ 16

2x + 6y ≤ 36

2 · 0 + 6y ≤ 36

6y ≤ 36

y ≤ 6

צריך לקיים את שניהם, ולכן לכל היותר 6 כורסאות (זו הנקודה (0 , 6)).

✅ פתרון סופי: 6 כורסאות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	4x + 2y ≤ 32 , 2x + 6y ≤ 36
סעיף ב	קודקודים (0,0) (8,0) (6,4) (0,6)
ג (1)	400x + 700y
ג (2)	6 ספות , 4 כורסאות
סעיף ד	6 כורסאות

מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים