שיעור 14: בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 1 – תכנון ליניארי: סלט גזר וסלט כרוב

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 1
תכנון ליניארי: סלט גזר וסלט כרוב

📄 נוסח השאלה

במפעל שמייצר סלטים מכינים שני סוגי סלטים: סלט גזר וסלט כרוב. תהליך הייצור מורכב משני שלבים עיקריים: קיצוץ וערבוב, ולצורך כך משתמשים במפעל במכונת קיצוץ ובמכונת ערבוב.

בטבלה שלפניכם מוצג הזמן הנדרש להכנת 1 קילוגרם של כל אחד מן הסלטים.

סוג הסלט	זמן הקיצוץ (ל־1 קילוגרם)	זמן הערבוב (ל־1 קילוגרם)
סלט גזר	6 דקות	2 דקות
סלט כרוב	3 דקות	4 דקות

במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את מכונת הקיצוץ 42 דקות לכל היותר ואת מכונת הערבוב 35 דקות לכל היותר.

נסמן ב־x את מספר הקילוגרמים של סלט הגזר וב־y את מספר הקילוגרמים של סלט הכרוב שמכינים במפעל במחזור ייצור אחד.

א. כתבו את מערכת האילוצים של הבעיה.

ב. סרטטו את התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים.

הרווח של המפעל ממכירה של קילוגרם אחד של סלט הגזר הוא 26 שקלים, והרווח ממכירה של קילוגרם אחד של סלט הכרוב הוא 30 שקלים.

ג. כתבו את פונקציית המטרה.

ד. כמה קילוגרמים מכל סוג של סלט צריך לייצר במפעל במחזור ייצור אחד כדי שהרווח יהיה מקסימלי?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – מערכת האילוצים

אילוץ 1 – הכמויות אינן שליליות:📐 כלל: אי־שליליותמספר סוכריות לא יכול להיות שלילי

x ≥ 0 , y ≥ 0

אילוץ 2 – מכונת הקיצוץ: קילוגרם סלט גזר צריך 6 דקות קיצוץ, ולכן x קילוגרמים צריכים 6x דקות; קילוגרם סלט כרוב צריך 3 דקות, ולכן y קילוגרמים צריכים 3y דקות. המכונה פועלת 42 דקות לכל היותר:📐 כלל: אילוץכמות של משהו ≤ המקסימום המותר

6x + 3y ≤ 42

אילוץ 3 – מכונת הערבוב: 2 דקות לקילוגרם סלט גזר ו־4 דקות לקילוגרם סלט כרוב, ולכל היותר 35 דקות:📐 כלל: אילוץכמות של משהו ≤ המקסימום המותר

2x + 4y ≤ 35

✅ פתרון סופי: x ≥ 0 , y ≥ 0 , 6x + 3y ≤ 42 , 2x + 4y ≤ 35

סעיף ב – סרטוט התחום האפשרי

כדי לסרטט כל ישר נמצא את נקודות החיתוך שלו עם הצירים.📐 כלל: נקודה על ציר ה־xy = 0

הישר:

6x + 3y = 42

נציב x = 0:

6 · 0 + 3y = 42 ⟹ 3y = 42 ⟹ y = 14

נציב y = 0:

6x + 3 · 0 = 42 ⟹ 6x = 42 ⟹ x = 7

הישר:

2x + 4y = 35

נציב x = 0:

2 · 0 + 4y = 35 ⟹ 4y = 35 ⟹ y = 8.75

נציב y = 0:

2x + 4 · 0 = 35 ⟹ 2x = 35 ⟹ x = 17.5

התחום האפשרי נמצא מתחת לשני הישרים (סימן ≤) וברביע הראשון (x ≥ 0 , y ≥ 0).

נמצא גם את נקודת המפגש של שני הישרים (נצטרך אותה בסעיף ד):📐 כלל: מפגש שני ישריםפותרים את מערכת שתי המשוואות

נחלק את המשוואה הראשונה ב־3:

2x + y = 14 ⟹ y = 14 − 2x

2x + 4y = 35

נציב y = 14 − 2x:

2x + 4(14 − 2x) = 35

2x + 56 − 8x = 35

−6x = −21

x = 3.5

y = 14 − 2x

נציב x = 3.5:

y = 14 − 2 · 3.5 = 7

✅ פתרון סופי: התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו (0 , 0) , (0 , 8.75)
(3.5 , 7) , (7 , 0)

סעיף ג – פונקציית המטרה

רווח של 26 שקלים לקילוגרם סלט גזר ו־30 שקלים לקילוגרם סלט כרוב:📐 כלל: פונקציית מטרהf(x , y) = a · x + b · ya – הרווח מיחידה מהסוג הראשון, b – מהסוג השני

f(x , y) = 26x + 30y

✅ פתרון סופי: f(x , y) = 26x + 30y

סעיף ד – הרווח המקסימלי

נציב את קודקודי התחום האפשרי בפונקציית המטרה:📐 משפט: ערך מקסימלי בתכנון ליניאריהערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום האפשרי – מציבים כל קודקוד

f(x , y) = 26 · x + 30 · y

נציב x = 0 , y = 0:

f = 26 · 0 + 30 · 0 = 0

נציב x = 0 , y = 8.75:

f = 26 · 0 + 30 · 8.75 = 262.5

נציב x = 7 , y = 0:

f = 26 · 7 + 30 · 0 = 182

נציב x = 3.5 , y = 7:

f = 26 · 3.5 + 30 · 7

f = 91 + 210 = 301

הרווח הגדול ביותר, 301 שקלים, מתקבל בנקודה (3.5 , 7).

✅ פתרון סופי: 3.5 ק"ג סלט גזר ו־7 ק"ג סלט כרוב (רווח של 301 שקלים)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א	x ≥ 0 , y ≥ 0 6x + 3y ≤ 42 2x + 4y ≤ 35
ב	מרובע: (0 , 0) , (0 , 8.75) (3.5 , 7) , (7 , 0)
ג	f(x , y) = 26x + 30y
ד	3.5 ק"ג גזר , 7 ק"ג כרוב

מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים