מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות
שיעור 28: בגרות חורף 2026 · שאלה 4 – מודל ריבועי: מסלול סקייטבורד בצורת פרבולה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות חורף 2026 · שאלה 4
מודל ריבועי: מסלול סקייטבורד בצורת פרבולה
📄 נוסח השאלה
נועם גולש בסקייטבורד על מסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא y = 0.4x2 − 1.2x. המסלול מתחיל בראשית הצירים O ומסתיים בנקודה A הנמצאת על ציר ה־x, כמתואר בסרטוט.
ציר ה־x מונח על פני הקרקע ומייצג את המרחק האופקי (במטרים) מן הנקודה O, וציר ה־y מייצג את גובה המסלול (במטרים) ביחס לפני הקרקע.
א. מצאו את אורך הקטע OA.
ב. מצאו את שיעורי הנקודה הנמוכה ביותר במסלול.
ג. מצאו בעבור אילו ערכים של x גלש נועם במגמת ירידה.
ד. מצאו בעבור אילו ערכים של x עבר נועם במסלול בנקודות ששיעור ה־y שלהן הוא −0.5.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – אורך הקטע OA
A על ציר ה־x, ולכן y = 0. נפתור:📐 כלל: נקודה על ציר ה־xy = 0
y = 0.4x2 − 1.2x
נציב y = 0:
0.4x2 − 1.2x = 0
נוציא גורם משותף x:📐 כלל: מכפלה ששווה לאפסמכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
x(0.4x − 1.2) = 0
x = 0
או
0.4x − 1.2 = 0
0.4x = 1.2
x = 3
x = 0 היא הנקודה O, ולכן A(3 , 0). המרחק בין O ל־A:
OA = 3 − 0 = 3
✅ פתרון סופי: אורך הקטע OA הוא 3 מטרים
סעיף ב – הנקודה הנמוכה ביותר
המקדם של x2 חיובי (a = 0.4), ולכן הפרבולה "מחייכת" והקדקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר:📐 נוסחה: שיעור ה־x של קדקוד הפרבולהx = −b2a
x = −b2a
נציב b = −1.2 , a = 0.4:
x = −(−1.2)2 · 0.4 = 1.20.8 = 1.5
נמצא את ה־y של הקדקוד:📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודהמציבים את ה־x בפונקצייה
y = 0.4x2 − 1.2x
נציב x = 1.5:
y = 0.4 · 1.52 − 1.2 · 1.5
y = 0.4 · 2.25 − 1.8
y = 0.9 − 1.8 = −0.9
✅ פתרון סופי: (1.5 , −0.9)
סעיף ג – מגמת ירידה
הפרבולה "מחייכת", ולכן היא יורדת משמאל לקדקוד, כלומר בעבור x קטן מ־1.5:📐 כלל: ירידה בפרבולה עם a חיוביכש־a > 0 הפרבולה "מחייכת": יורדת משמאל לקדקוד ועולה מימינו
המסלול מתחיל ב־O שבה x = 0, ולכן נועם גלש במגמת ירידה בעבור:
0 < x < 1.5
✅ פתרון סופי: 0 < x < 1.5
סעיף ד – הנקודות שבהן y = −0.5
y = 0.4x2 − 1.2x
נציב y = −0.5:
0.4x2 − 1.2x = −0.5
0.4x2 − 1.2x + 0.5 = 0
נזהה את המקדמים:📐 נוסחה: נוסחת השורשיםax2 + bx + c = 0x1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
a = 0.4
b = −1.2
c = 0.5
נחשב קודם את הביטוי שבתוך השורש:
b2 − 4ac = b2 − 4ac
b2 − 4ac = (−1.2)2 − 4 · 0.4 · 0.5
b2 − 4ac = 1.44 − 0.8
b2 − 4ac = 0.64
√0.64 = 0.8
x1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
נציב b = −1.2 , √b2 − 4ac = 0.8 , a = 0.4:
x1,2 = −(−1.2) ± 0.82 · 0.4 = 1.2 ± 0.80.8
x1 = 1.2 + 0.80.8 = 2.5
x2 = 1.2 − 0.80.8 = 0.5
שני הפתרונות בין 0 ל־3, כלומר על המסלול.
בדיקה: 0.4 · 0.25 − 0.6 = −0.5 ✓ , 0.4 · 6.25 − 3 = −0.5 ✓
✅ פתרון סופי: x = 0.5 , x = 2.5
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| א | 3 מטרים |
|---|---|
| ב | (1.5 , −0.9) |
| ג | 0 < x < 1.5 |
| ד | x = 0.5 , x = 2.5 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il