מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 7 פרקים58 שיעורים10 שבועות
שיעור 24: בגרות חורף 2025 · שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: משולש ישר זווית ושטחים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות חורף 2025 · שאלה 2
גאומטרייה אנליטית: משולש ישר זווית ושטחים
📄 נוסח השאלה
במשולש ישר זווית ABC (∢ACB = 90 מעלות), הקודקוד B נמצא על ציר ה־y, והצלע AB חותכת את ציר ה־x בנקודה D.
נתון כי משוואת הצלע AB היא y = −12x + 4.
א. מצאו את שיעורי הנקודות B ו־D.
הנקודה D היא אמצע הצלע AB.
ב. מצאו את שיעורי הקודקוד A.
נתון כי משוואת הצלע BC היא y = 13x + 4.
ג. (1) מצאו את משוואת הצלע AC.
(2) מצאו את שיעורי הקודקוד C.
נתון כי K(0 , −18).
ד. (1) חשבו את שטח המשולש ABC.
(2) חשבו את שטח המרובע BCAK.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הנקודות B ו־D
y = −12x + 4
B על ציר ה־ y – נציב x = 0:
y = −12 · 0 + 4 = 4
y = −12x + 4
D על ציר ה־ x – נציב y = 0:
0 = −12x + 4
12x = 4
x = 8
✅ פתרון סופי: B(0 , 4) , D(8 , 0)
סעיף ב – הקודקוד A
D אמצע AB. נסמן A(x , y):
xD = xB + x2
נציב xD = 8 , xB = 0:
8 = 0 + x2📐 אמצע קטעx = x1 + x22 , y = y1 + y22
x = 16
yD = yB + y2
נציב yD = 0 , yB = 4:
0 = 4 + y2
y = −4
✅ פתרון סופי: A(16 , −4)
סעיף ג (1) – משוואת AC
הזווית C ישרה, ולכן AC ⊥ BC. שיפוע BC הוא 13:
mAC · mBC = −1
נציב mBC = 13:
mAC · 13 = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mAC = −3
הישר עובר דרך A(16 , −4):
y − y1 = m(x − x1)
נציב m = −3 , x1 = 16 , y1 = −4:
y − (−4) = −3(x − 16)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y + 4 = −3x + 48
y = −3x + 44
✅ פתרון סופי: y = −3x + 44
סעיף ג (2) – הקודקוד C
C – נקודת החיתוך של BC ו־AC:
13x + 4 = −3x + 44
נכפול ב־3:
x + 12 = −9x + 132
10x = 120
x = 12
y = −3x + 44
נציב x = 12:
y = −3 · 12 + 44 = 8
✅ פתרון סופי: C(12 , 8)
סעיף ד (1) – שטח המשולש ABC
המשולש ישר זווית ב־C, ולכן הניצבים BC ו־AC הם צלע וגובה:
BC = √(xC − xB)2 + (yC − yB)2
נציב C(12 , 8) , B(0 , 4):
BC = √(12 − 0)2 + (8 − 4)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
BC = √144 + 16 = √160
AC = √(xA − xC)2 + (yA − yC)2
נציב A(16 , −4) , C(12 , 8):
AC = √(16 − 12)2 + (−4 − 8)2
AC = √16 + 144 = √160
S = BC · AC2
נציב BC = √160 , AC = √160:
S = √160 · √1602📐 שטח משולשS = צלע · הגובה אליה2
S = 1602 = 80
✅ פתרון סופי: 80 יחידות שטח
סעיף ד (2) – שטח המרובע BCAK
המרובע מורכב מהמשולש ABC ומהמשולש ABK.
במשולש ABK הצלע BK נמצאת על ציר ה־y:
BK = 4 − (−18) = 22
הגובה אליה – המרחק של A מציר ה־y, כלומר שיעור ה־x של A: 16.
SABK = BK · h2
נציב BK = 22 , h = 16 (הגובה):
SABK = 22 · 162 = 176📐 שטח משולשS = צלע · הגובה אליה2
S = 80 + 176 = 256
✅ פתרון סופי: 256 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | B(0 , 4) , D(8 , 0) |
|---|---|
| סעיף ב | A(16 , −4) |
| ג (1) | y = −3x + 44 |
| ג (2) | C(12 , 8) |
| ד (1) | 80 |
| ד (2) | 256 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il