מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים335 שיעורים10 שבועות
שיעור 45- מרוכבים וסדרה חשבונית 2
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📝 מספרים מרוכבים וסדרה חשבונית 2
📚 מקור: בגרות 5 יחידות, שאלון 807 (035807), חורף תשע"ז 2017, שאלה 3, סעיפים ב–ד
שאלה מבגרות: שני מקומות גאומטריים במישור גאוס, ואחר כך סדרה חשבונית שהאיבר הראשון שלה וההפרש שלה מספרים מרוכבים. קודם השאלה, ואחריה הפתרון 👇
📌 תזכורת – סכום סדרה חשבונית
הנוסחה נכונה גם כשהאיבר הראשון וההפרש הם מספרים מרוכבים:
Sn = n2 · [2a1 + (n − 1)d]
מספר מרוכב הוא ממשי כאשר החלק המדומה שלו שווה 0 .
📝 השאלה
z הוא מספר מרוכב. נתונים שני מקומות גאומטריים:
I. zz + i(z − z) + z + z = 0
II. |z|2 + i(z − z) = 0
המקומות הגאומטריים הנתונים נחתכים בשתי נקודות A(x1 , y1) ו־B(x2 , y2) , (x1 < x2)
ב.מצא את השיעורים של הנקודות A ו־B
ג.נתונה הנקודה P(x0 , y0) . הנקודה P נמצאת במרחק שווה מכל הנקודות שעל המקום הגאומטרי I . נתון: z0 = x0 + y0 · i . הוכח שהמספר הצמוד ל־z0 נמצא על המקום הגאומטרי II
ד.נתון: z1 = x1 + y1 · i ( x1 , y1 הם שיעורי הנקודה A שמצאת בסעיף ב). נתונה סדרה חשבונית שבה האיבר הראשון הוא 5z1 וההפרש הוא z0 . מצא את כל ערכי n שעבורם Sn (סכום n האיברים הראשונים בסדרה) הוא מספר ממשי (אם יש כאלה)
✏️ פתרון
סעיף ב – נקודות החיתוך
מציבים z = x + yi , ואז z = x − yi :
zz = |z|2 = x2 + y2
z − z = 2yi
z + z = 2x
z − z = −2yi
מקום גאומטרי I:
x2 + y2 + i · 2yi + 2x = 0
x2 + y2 − 2y + 2x = 0
(x + 1)2 + (y − 1)2 = 2
מעגל שמרכזו (−1 , 1) והרדיוס שלו √2 .
מקום גאומטרי II:
x2 + y2 + i · (−2yi) = 0
x2 + y2 + 2y = 0
x2 + (y + 1)2 = 1
מעגל שמרכזו (0 , −1) והרדיוס שלו 1 .
חיתוך – מחסרים את המשוואות:
(x2 + y2 − 2y + 2x) − (x2 + y2 + 2y) = 0
2x − 4y = 0
x = 2y
מציבים במשוואה II:
(2y)2 + y2 + 2y = 0
5y2 + 2y = 0
y(5y + 2) = 0
y = 0 ⇐ x = 0
y = −25 ⇐ x = −45
לפי הנתון x1 < x2 :
תשובה: A(−45 , −25)
B(0 , 0)
B(0 , 0)
סעיף ג – המספר z₀
הנקודה שנמצאת במרחק שווה מכל הנקודות של מעגל היא מרכז המעגל. מרכז המקום הגאומטרי I הוא (−1 , 1) :
z0 = −1 + i
z0 = −1 − i
מציבים x = −1 , y = −1 במשוואה של II:
x2 + y2 + 2y = (−1)2 + (−1)2 + 2 · (−1) = 1 + 1 − 2 = 0
המשוואה מתקיימת, לכן z0 נמצא על המקום הגאומטרי II.
תשובה: z0 = −1 + i , ו־z0 = −1 − i מקיים את II
סעיף ד – מתי הסכום ממשי
z1 = −45 − 25i
a1 = 5z1 = −4 − 2i
d = z0 = −1 + i
מציבים בנוסחת הסכום:
Sn = n2 · [2(−4 − 2i) + (n − 1)(−1 + i)]
Sn = n2 · [−8 − 4i − n + 1 + (n − 1)i]
מסדרים חלק ממשי וחלק מדומה:
Sn = n2 · [(−7 − n) + (n − 5)i]
Sn = n(−7 − n)2 + n(n − 5)2i
Sn ממשי כאשר החלק המדומה שווה 0 :
n(n − 5)2 = 0
n = 0 (לא אפשרי, n מספר טבעי) או n = 5
בדיקה – הסכום עבור n = 5 :
S5 = 5 · (−12)2 = −30
תשובה: n = 5 (ואז S5 = −30 )
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il