מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 43: בגרות קיץ 2025 מועד א׳ – פירמידה שבסיסה מקבילית
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 2
פירמידה שבסיסה מקבילית
📄 נוסח השאלה
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית.
SA הוא גובה הפירמידה.
הנקודה M היא אמצע האלכסון BD.
נסמן: AS = w , AD = v , AB = u.
א. הביעו באמצעות u , v , w את הווקטור SM.
נתון כי SM מאונך ל־DB.
ב. הוכיחו כי |u| = |v|.
נתון: A(0 , 0 , 0) , B(0 , 5 , 0) , S(0 , 0 , 6) , D(3 , p , 0) , p > 0.
ג. מצאו את שיעורי הנקודות D ו־C.
דרך האלכסון AC מעבירים מישור המקביל למקצוע SD. המישור חותך את המקצוע SB בנקודה K.
ד. מצאו את משוואת המישור.
ה. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם.
I. הישר KM מקביל לישר SD.
II. כל ישר שמאונך למישור ACK, מאונך לישר SD.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הווקטור SM
M אמצע BD, ולכן:
AM = 12(AB + AD)📐 אמצע קטע (וקטורים)AM = 12(AB + AD)
נציב AB = u , AD = v:
AM = 12(u + v)
SM = SA + AM📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
נציב SA = −w , AM = 12(u + v):
SM = −w + 12u + 12v
✅ פתרון סופי: SM = 12u + 12v − w
סעיף ב – הוכחה ש־|u| = |v|
DB = DA + AB
נציב DA = −v , AB = u:
DB = −v + u = u − v
הווקטורים מאונכים, ולכן המכפלה הסקלרית 0:
SM · DB = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
נציב SM = 12u + 12v − w , DB = u − v:
(12u + 12v − w) · (u − v) = 0
נפתח סוגריים:
12u2 − 12u · v + 12v · u − 12v2 − w · u + w · v = 0
SA גובה, ולכן w מאונך לבסיס. נציב w · u = w · v = 0:
12u2 − 12u · v + 12v · u − 12v2 − 0 + 0 = 0
המכפלות u · v ו־v · u שוות, ולכן הן מתקזזות:
12u2 − 12v2 = 0
נציב u2 = |u|2 , v2 = |v|2:
12|u|2 − 12|v|2 = 0📐 ריבוע וקטורa · a = |a|2
|u|2 = |v|2
|u| = |v|
✅ פתרון סופי: הוכח: |u| = |v|
סעיף ג – שיעורי D ו־C
לפי סעיף ב, AD = AB. AB = 5:
AD = |AD| = √a2 + b2 + c2📐 אורך וקטור|(a , b , c)| = √a2 + b2 + c2
נציב AD = D − A = (3 , p , 0):
AD = √32 + p2 + 02 = 5
9 + p2 = 25
p2 = 16 ⟸ p = 4 (p > 0)
D(3 , 4 , 0)
במקבילית BC = AD = (3 , 4 , 0):
C = B + AD📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
נציב B(0 , 5 , 0) , AD = (3 , 4 , 0):
C = (0 + 3 , 5 + 4 , 0 + 0)
C(3 , 9 , 0)
✅ פתרון סופי: D(3 , 4 , 0) , C(3 , 9 , 0)
סעיף ד – משוואת המישור
AC = C − A
נציב C(3 , 9 , 0) , A(0 , 0 , 0):
AC = (3 − 0 , 9 − 0 , 0 − 0)
AC = (3 , 9 , 0)
SD = D − S📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
נציב D(3 , 4 , 0) , S(0 , 0 , 6):
SD = (3 − 0 , 4 − 0 , 0 − 6)
SD = (3 , 4 , −6)
המישור מכיל את AC ומקביל ל־SD, ולכן הנורמל (a , b , c) מאונך לשניהם:
(a , b , c) · AC = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
(a , b , c) · SD = 0
נציב AC = (3 , 9 , 0) , SD = (3 , 4 , −6):
(a , b , c) · (3 , 9 , 0) = 0
3a + 9b = 0
(a , b , c) · (3 , 4 , −6) = 0
3a + 4b − 6c = 0
מהראשונה a = −3b . במשוואה השנייה:
3a + 4b − 6c = 0
נציב a = −3b:
3 · (−3b) + 4b − 6c = 0
−9b + 4b − 6c = 0
כלומר c = −5b6 . ניקח b = −6 (כדי לקבל מספרים שלמים):
(a , b , c) = (18 , −6 , 5)
ax + by + cz + d = 0📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – וקטור נורמל
נציב (a , b , c) = (18 , −6 , 5):
18x + (−6)y + 5z + d = 0
המישור עובר דרך A:
18x − 6y + 5z + d = 0
נציב A(0 , 0 , 0):
18 · 0 − 6 · 0 + 5 · 0 + d = 0
d = 0
18x − 6y + 5z = 0
✅ פתרון סופי: 18x − 6y + 5z = 0
סעיף ה – הטענות I ו־II
הנקודה K: הצגה פרמטרית של הישר SB:
(x , y , z) = S + s · SB
נציב S(0 , 0 , 6) , SB = B − S = (0 , 5 , −6):
(x , y , z) = (0 , 0 , 6) + s · (0 , 5 , −6)
(x , y , z) = (0 , 5s , 6 − 6s)
הנקודה K נמצאת במישור:
18x − 6y + 5z = 0
נציב x = 0 , y = 5s , z = 6 − 6s:
18 · 0 − 6 · 5s + 5(6 − 6s) = 0
0 − 30s + 5(6 − 6s) = 0
30 − 60s = 0 ⟸ s = 12
K = (0 , 5s , 6 − 6s)
נציב s = 12:
K = (0 , 5 · 12 , 6 − 6 · 12)
K(0 , 2.5 , 3)
טענה I. M אמצע BD:
M = (xB + xD2 , yB + yD2 , zB + zD2)
נציב B(0 , 5 , 0) , D(3 , 4 , 0):
M = (0 + 32 , 5 + 42 , 0 + 02)
M(1.5 , 4.5 , 0)
KM = M − K
נציב M(1.5 , 4.5 , 0) , K(0 , 2.5 , 3):
KM = (1.5 − 0 , 4.5 − 2.5 , 0 − 3)
KM = (1.5 , 2 , −3)
KM = 12(3 , 4 , −6)
KM = 12SD
הווקטורים מקבילים (וגם: K ו־M אמצעי SB ו־BD, כלומר KM קטע אמצעים במשולש SBD). טענה I נכונה.
טענה II. המישור ACK הוא המישור מסעיף ד, והוא מקביל ל־SD. ישר המאונך למישור מקביל לנורמל (18 , −6 , 5), ולפי הבנייה בסעיף ד:
המכפלה הסקלרית של הנורמל (18 , −6 , 5) ב־SD = (3 , 4 , −6):
18 · 3 + (−6) · 4 + 5 · (−6) = 54 − 24 − 30 = 0
כלומר כיוון כל ישר כזה מאונך לכיוון SD. טענה II נכונה.
הסרטוט בקנה מידה (המישור ACK בירוק, KM בסגול):
✅ פתרון סופי: I – נכונה ; II – נכונה
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | 12u + 12v − w |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | D(3 , 4 , 0) C(3 , 9 , 0) |
| סעיף ד | 18x − 6y + 5z = 0 |
| סעיף ה | I נכונה, II נכונה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il