מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 35: זוויות במרחב – בין ישרים, בין ישר ומישור, בין מישורים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
זוויות במרחב – בין ישרים, בין ישר ומישור, בין מישורים
📄 נוסח השאלה
נתונים הישרים ℓ1: x = (1 , 0 , 0) + t(1 , 1 , 0) , ℓ2: x = (0 , 1 , 0) + s(0 , 1 , 1)
והמישורים π1: x + y + z − 3 = 0 , π2: x − 2y + 2z = 0.
א. מצאו את הזווית בין הישרים ℓ1 ו־ℓ2.
ב. מצאו את הזווית בין הישר ℓ1 למישור π1.
ג. מצאו את הזווית בין המישורים π1 ו־π2.
ד. מצאו את הזווית בין הישר ℓ2 למישור xy (המישור z = 0).
✏️ פתרון
סעיף א – זווית בין שני ישרים
u1 = (1 , 1 , 0) , u2 = (0 , 1 , 1)
u1 · u2 = 1 · 0 + 1 · 1 + 0 · 1 = 1📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
|u1| = √12 + 12 + 02 = √2📐 אורך וקטור לפי שיעורים|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
|u2| = √02 + 12 + 12 = √2
cos(∡) = |u1 · u2||u1| · |u2|📐 הזווית בין שני ישריםcos(∡) = |u1 · u2||u1| · |u2|
נציב u1 · u2 = 1 , |u1| = √2 , |u2| = √2:
cos(∡) = 1√2 · √2 = 12
במחשבון: SHIFT cos (1 ÷ 2):
∡ = 60
✅ פתרון סופי: ∡ = 60 מעלות
סעיף ב – זווית בין ישר למישור
n = (1 , 1 , 1) , u1 = (1 , 1 , 0)
n · u1 = 1 + 1 + 0 = 2📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
|n| = √12 + 12 + 12 = √3📐 אורך וקטור לפי שיעורים|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
sin(∡) = |n · u||n| · |u|📐 הזווית בין ישר למישורsin(∡) = |n · u||n| · |u|
נציב n · u = 2 , |n| = √3 , |u| = √2:
sin(∡) = 2√3 · √2 = 2√6 ≈ 0.8165
בזווית בין ישר למישור משתמשים ב־sin (הנורמל מאונך למישור). במחשבון: SHIFT sin:
∡ ≈ 54.74
✅ פתרון סופי: ∡ ≈ 54.74 מעלות
סעיף ג – זווית בין שני מישורים
n1 = (1 , 1 , 1) , n2 = (1 , −2 , 2)
n1 · n2 = 1 − 2 + 2 = 1📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
|n2| = √12 + (−2)2 + 22 = √9 = 3📐 אורך וקטור לפי שיעורים|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
cos(∡) = |n1 · n2||n1| · |n2|📐 הזווית בין שני מישוריםcos(∡) = |n1 · n2||n1| · |n2|
נציב n1 · n2 = 1 , |n1| = √3 , |n2| = 3:
cos(∡) = 1√3 · 3 ≈ 0.1925
במחשבון: SHIFT cos:
∡ ≈ 78.90
✅ פתרון סופי: ∡ ≈ 78.90 מעלות
סעיף ד – זווית עם מישור הצירים
למישור z = 0 (המישור xy) וקטור נורמל n = (0 , 0 , 1).
n · u2 = 0 · 0 + 0 · 1 + 1 · 1 = 1📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
sin(∡) = |n · u||n| · |u|📐 הזווית בין ישר למישורsin(∡) = |n · u||n| · |u|
נציב n · u = 1 , |n| = 1 , |u| = √2:
sin(∡) = 11 · √2 = 1√2 ≈ 0.7071
במחשבון: SHIFT sin:
∡ = 45
✅ פתרון סופי: ∡ = 45 מעלות
📌 סיכום
| סעיף א | 60 מעלות |
|---|---|
| סעיף ב | ≈ 54.74 מעלות |
| סעיף ג | ≈ 78.90 מעלות |
| סעיף ד | 45 מעלות |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il