שיעור 33- 2023 מועד ב

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

פתרון מלא של שאלת חקירת e מבגרות 5 יחידות 2023 מועד ב (582 / 572): f(x) = e^xe^x − 6 – תחום, אסימפטוטות, עלייה וירידה וסקיצה; g(x) = 1f(x) – חור במקום אסימפטוטה, סקיצה ושטח; נקודת חיתוך ואינטגרל צובר.

נתונה הפונקציה f(x) = e^xe^x − 6.

🔵 סעיף א1: תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

המכנה שונה מ-0:

e^x − 6 ≠ 0

e^x ≠ 6

זכרו: e^x = a ← x = ln a

x ≠ ln6

תשובה: x ≠ ln6

🟣 סעיף א2: האסימפטוטות של f(x) המאונכות לצירים – בשיטת ההצבה

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

אנכית: ההפך מתחום ההגדרה ← x = ln6

אופקית – צד ימין: מציבים מספר גדול, x = 20:

f(20) = e²⁰e²⁰ − 6 ≈ 1

ימין: y = 1

צד שמאל: מציבים x = −20:

f(−20) = e⁻²⁰e⁻²⁰ − 6

≈ −3.4·10⁻¹⁰ → 0

שמאל: y = 0

תשובה:
אנכית: x = ln6
אופקיות: y = 1 (ימין) , y = 0 (שמאל)

🟢 סעיף א3: תחומי העלייה והירידה של f(x) – נגזרת מנה

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

f'(x) = e^x(e^x − 6) − e^x·e^x(e^x − 6)²

= e^2x − 6e^x − e^2x(e^x − 6)²

= −6e^x(e^x − 6)²

f'(x) = 0 ← −6e^x = 0 /:(−6)

e^x = 0 – אין פתרון (e^x > 0) ← אין נקודות קיצון.

המונה −6e^x תמיד שלילי, המכנה בריבוע תמיד חיובי ← f'(x) < 0 תמיד.

הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה.

תשובה:
יורדת: x < ln6 , x > ln6
עלייה: אין

🔷 סעיף א4: סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

אסימפטוטות: x = ln6 , y = 1 (ימין) , y = 0 (שמאל – ציר ה-x).

יורדת בשני הצדדים: משמאל נצמדת לציר ה-x ויורדת ל-−∞ ליד ln6; מימין יורדת מ-∞ אל y = 1.

תשובה: הסקיצה שלמעלה

🔵 סעיף ב1: האסימפטוטות של g(x) – חור במקום אסימפטוטה אנכית

נתונה הפונקציה g(x) המקיימת g(x) = 1f(x). הפונקציות g(x) ו-f(x) מוגדרות באותו תחום. מצאו את משוואות האסימפטוטות של g(x) המאונכות לצירים.

אותו תחום: x ≠ ln6 – אסימפטוטה או חור? בודקים סביב ln6:

משמאל:

Limx→ln6⁻ 1f(x) = 1f(ln6⁻)

= 1−∞ = 0

מימין:

Limx→ln6⁺ 1f(x) = 1f(ln6⁺)

= 1∞ = 0

יצא מספר ← חור (ln6, 0), אין אסימפטוטה אנכית.

אופקית (הצבה): g(x) = e^x − 6e^x

g(20) = e²⁰ − 6e²⁰ ≈ 1 ← ימין: y = 1

g(−20) = e⁻²⁰ − 6e⁻²⁰ → −∞ ← שמאל: אין

תשובה:
אנכית: אין (חור (ln6, 0))
אופקית: y = 1

🟣 סעיף ב2: סקיצה של גרף הפונקציה g(x)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

הקשר בין f(x) ל-1f(x): תחומי העלייה והירידה מתחלפים (max ↔ min), האסימפטוטה האנכית הופכת לחור, ואסימפטוטה אופקית y = k הופכת ל-y = 1k.

y = 1 ← 11 = 1 – לא משתנה.

f(x) יורדת ← g(x) עולה (גם x < ln6 וגם x > ln6).

עולה מ-−∞, עוברת בחור (ln6, 0) וממשיכה לעלות אל y = 1.

תשובה: עולה, חור (ln6, 0), אסימפטוטה y = 1 מימין

🟢 סעיף ב3: השטח בין גרף g(x) לאסימפטוטה האופקית שלה

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי האסימפטוטה האופקית שלה ועל ידי הישרים x = ln7 ו-x = ln10.

הישר y = 1 מעל g(x):

∫ln10ln7(1 − e^x − 6e^x)dx

= ∫ln10ln7(1 − (e^xe^x − 6e^x))dx

= ∫ln10ln7(1 − (1 − 6e^−x))dx

= ∫ln10ln76e^−xdx

= 6e^−x−1|ln10ln7 = −6e^−x|ln10ln7

= −6e^−ln10 + 6e^−ln7

= −610 + 67 = 935

תשובה: S = 935 ≈ 0.257 יח"ר

🔷 סעיף ג: נקודת החיתוך של f(x) ו-g(x) בדרך המקוצרת

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם גרף הפונקציה g(x).

במקום להציב את הביטויים – משווים g(x) = f(x):

1f(x) = f(x)

כפל בהצלבה: f²(x) = 1

f(x) = 1 או f(x) = −1

f(x) = 1 – לא אפשרי: y = 1 היא אסימפטוטה.

e^xe^x − 6 = −1

e^x = −e^x + 6

2e^x = 6 /:2

e^x = 3 ← x = ln3

f(ln3) = 33 − 6 = −1

תשובה: (ln3, −1)

🔵 סעיף ד: נקודת הקיצון של S(x) – אינטגרל צובר

נתונה הפונקציה S(x) = ∫ln5x(f(t) − g(t))dt המוגדרת בתחום x < ln5. מצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון של S(x) וקבעו את סוגה.

הצבירה מתחילה ב-x = ln5 (שם S(ln5) = 0) וצוברים שמאלה, כי x < ln5.

בין ln3 ל-ln5: g(x) מעל f(x) ← f − g < 0 ← צוברים שטח שלילי.

משמאל ל-ln3: f(x) מעל g(x) ← f − g > 0 ← צוברים שטח חיובי.

ב-x = ln3 (נקודת החיתוך) הסימן מתחלף ← נקודת קיצון.

בדיקה בנגזרת: S'(x) = g(x) − f(x): משמאל ל-ln3 שלילית (יורדת), בין ln3 ל-ln5 חיובית (עולה) ← min.

תשובה: x = ln3 – מינימום

💡 לזכור

e^x = a ← x = ln a.

ב-1f(x): עלייה ↔ ירידה מתחלפות, אסימפטוטה אנכית של f הופכת לחור, y = k הופכת ל-y = 1k.

חיתוך של f עם 1f: f² = 1 ← f = ±1.

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים