מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 25 – פתרון בגרות 5 יחידות קיץ 2009 מועד א׳ – נשירת שער וגדילת שער
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 5 יחידות · שאלון 035807 · קיץ 2009 מועד א׳ · שאלה 4 סעיף א
נשירת שער וגדילת שער – דעיכה וגדילה עם פרמטר
📄 נוסח השאלה
שאלה 4, סעיף א (סעיף ב של השאלה עוסק בפונקציה לפי הנגזרת השנייה שלה, ובשאלון כתוב: "אין קשר בין סעיף א לסעיף ב").
א. (1) בעיירה מסוימת נמצא כי אצל כל הגברים בעיירה שער הראש נושר בדעיכה מעריכית מגיל עשרים ואחת והלאה.
כל שנה הגברים מאבדים 0.1% משער ראשם.
מצא כעבור כמה שנים מגיל עשרים ואחת יאבדו הגברים 0.2997% משער ראשם.
(2) נמצא כי אצל כל הילדות בעיירה מספר השערות גדל מאז הלידה בצורה מעריכית.
ביום מסוים היו לילדה מהעיירה 100,000 שערות. כעבור m שנים נוספו לה 15,000 שערות.
הבע באמצעות m בכמה אחוזים גדל כל שנה מספר השערות של הילדה.
✏️ פתרון
סעיף א (1) – דעיכה: כעבור כמה שנים
זו דעיכה של 0.1% בכל שנה. נמצא את מקדם הדעיכה:
q = 1 − 0.1100📐 מקדם הדעיכהq = 1 − p100
נציב p = 0.1 :
q = 1 − 0.001 = 0.999
נסמן ב־M(0) את כמות השער בגיל 21. אם איבדו 0.2997% מהשער, נשאר:
100% − 0.2997% = 99.7003%
כלומר אחרי t שנים נשאר M(t) = 0.997003 · M(0) .
M(t) = M(0) · qt📐 נוסחת גדילה ודעיכהM(t) = M(0) · qt
נציב M(t) = 0.997003 · M(0) ו־q = 0.999 :
0.997003 · M(0) = M(0) · 0.999t
נחלק את שני האגפים ב־M(0) :
0.999t = 0.997003
הנעלם t נמצא בחזקה:
t = ln 0.997003ln 0.999📐 כשהנעלם בחזקהax = b ⇒ x = ln bln a
t ≈ 3
בדיקה: 0.9993 = 0.997002999 ≈ 0.997003 ✓
כלומר כעבור 3 שנים, בגיל 24.
✅ פתרון סופי: כעבור 3 שנים (בגיל 24)
סעיף א (2) – גדילה: אחוז הגדילה השנתי
זו גדילה. נסמן ב־q את מקדם הגדילה השנתי. נתחיל לספור מהיום שבו היו לילדה 100,000 שערות:
M(0) = 100000
כעבור m שנים נוספו 15,000 שערות:
M(m) = 100000 + 15000 = 115000
M(m) = M(0) · qm📐 נוסחת גדילה ודעיכהM(t) = M(0) · qt
נציב t = m , M(0) = 100000 ו־M(m) = 115000 :
115000 = 100000 · qm
נחלק ב־100000:
qm = 1.15
q = m√1.15📐 שורש מסדר גבוהxn = a ⇒ x = n√a
עכשיו נעבור מ־q לאחוז הגדילה p :
q = 1 + p100📐 מקדם הגדילהq = 1 + p100
נציב q = m√1.15 :
m√1.15 = 1 + p100
p100 = m√1.15 − 1
p = 100 · (m√1.15 − 1)
דוגמה לבדיקה: אם m = 1 , אז p = 100 · (1.15 − 1) = 15 – בשנה אחת נוספו 15%, וזה מתאים לנתונים (15,000 מתוך 100,000).
✅ פתרון סופי: גדל כל שנה ב־100 · (m√1.15 − 1) אחוזים
📌 סיכום
| סעיף א (1) | כעבור 3 שנים |
|---|---|
| סעיף א (2) | 100 · (m√1.15 − 1) אחוזים |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il