מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 47: בגרות חורף 2024 – ישר ומישור במרחב
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2024, שאלה 2
ישר ומישור במרחב
📄 נוסח השאלה
נתונים הישר ℓ: x = (−1 , 5 , −11) + t(m − 1 , 5 − m , −2)
והמישור P: 3x + my + (m + 6)z + 4 = 0. m הוא פרמטר.
(בשאלון המישור מסומן באות יוונית; כאן נקרא לו P.)
א. הראו כי לכל ערך של m הישר ℓ אינו מקביל למישור P.
נתון כי הישר ℓ ניצב למישור P וחותך אותו בנקודה A.
ב. מצאו את הערך של הפרמטר m.
ג. מצאו את שיעורי הנקודה A.
ד. לפניכם טענה: קיים מישור אחד בלבד המכיל את הישר ℓ ועובר דרך הנקודה (5 , −5 , −9). קבעו אם הטענה נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הישר אינו מקביל למישור
וקטור הכיוון של הישר והנורמל של המישור:
u = (m − 1 , 5 − m , −2)
n = (3 , m , m + 6)
הישר מקביל למישור (או מוכל בו) רק אם u · n = 0. נחשב:📐 ישר מקביל למישורוקטור הכיוון של הישר מאונך לנורמל: u · n = 0
נחשב את המכפלה הסקלרית:📐 מכפלה סקלריתu · n = u1n1 + u2n2 + u3n3
u · n = u1n1 + u2n2 + u3n3
נציב u = (m − 1 , 5 − m , −2) , n = (3 , m , m + 6):
u · n = (m − 1) · 3 + (5 − m) · m + (−2) · (m + 6)
u · n = 3(m − 1) + m(5 − m) − 2(m + 6)
u · n = 3m − 3 + 5m − m2 − 2m − 12
u · n = −m2 + 6m − 15
נבדוק אם הביטוי יכול להתאפס:
−m2 + 6m − 15 = 0
m2 − 6m + 15 = 0
b2 − 4ac = b2 − 4 · a · c📐 מספר הפתרונות של משוואה ריבועיתb2 − 4ac < 0 – אין פתרון
נציב a = 1 , b = −6 , c = 15 (מהמשוואה m2 − 6m + 15 = 0):
b2 − 4ac = (−6)2 − 4 · 1 · 15 = 36 − 60 = −24 < 0
למשוואה אין פתרון, ולכן לכל ערך של m המכפלה הסקלרית שונה מאפס:
u · n ≠ 0
כלומר הישר אינו מקביל למישור (הוא תמיד חותך אותו).
✅ פתרון סופי: הוכחה – u · n = −m2 + 6m − 15 ≠ 0
סעיף ב – הערך של m
הישר ניצב למישור, ולכן וקטור הכיוון מקביל לנורמל:📐 ישר ניצב למישורוקטור הכיוון של הישר מקביל לנורמל: u = k · n
u = k · n
נציב u = (m − 1 , 5 − m , −2) , n = (3 , m , m + 6):
(m − 1 , 5 − m , −2) = k · (3 , m , m + 6)
משוואה לכל רכיב:
(1) m − 1 = 3k
(2) 5 − m = mk
(3) −2 = k(m + 6)
מ־(1):
k = m − 13
(3) −2 = k(m + 6)
נציב k = m − 13 ב־(3):
−2 = m − 13 · (m + 6)
−2 = (m − 1)(m + 6)3
−6 = m2 + 5m − 6
m2 + 5m = 0
m(m + 5) = 0
m = 0
או
m = −5
נבדוק ב־(2):
k = m − 13
(2) 5 − m = mk
נציב m = 0:
k = 0 − 13 = −13
נציב m = 0 ב־(2):
5 − 0 = 0 · k ⟸ 5 = 0 ✗
נציב m = −5:
k = (−5) − 13 = −63 = −2
נציב m = −5 , k = −2 ב־(2):
5 − (−5) = (−5) · (−2) ⟸ 10 = 10 ✓
✅ פתרון סופי: m = −5
סעיף ג – הנקודה A
ℓ: x = (−1 , 5 , −11) + t(m − 1 , 5 − m , −2)
P: 3x + my + (m + 6)z + 4 = 0
נציב m = −5:
ℓ: x = (−1 , 5 , −11) + t((−5) − 1 , 5 − (−5) , −2)
ℓ: x = (−1 , 5 , −11) + t(−6 , 10 , −2)
P: 3x + (−5)y + (−5 + 6)z + 4 = 0
P: 3x − 5y + z + 4 = 0
נקודה כללית על הישר:
(x , y , z) = (−1 − 6t , 5 + 10t , −11 − 2t)
3x − 5y + z + 4 = 0
נציב x = −1 − 6t , y = 5 + 10t , z = −11 − 2t:
3(−1 − 6t) − 5(5 + 10t) + (−11 − 2t) + 4 = 0
−3 − 18t − 25 − 50t − 11 − 2t + 4 = 0
−35 − 70t = 0
t = −0.5
(x , y , z) = (−1 − 6t , 5 + 10t , −11 − 2t)
נציב t = −0.5:
x = −1 − 6 · (−0.5) = 2
y = 5 + 10 · (−0.5) = 0
z = −11 − 2 · (−0.5) = −10
3x − 5y + z + 4 = 0
בדיקה: נציב A(2 , 0 , −10):
3 · 2 − 5 · 0 + (−10) + 4 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: A(2 , 0 , −10)
סעיף ד – הטענה
נבדוק אם הנקודה (5 , −5 , −9) נמצאת על הישר ℓ (עם m = −5):
(x , y , z) = (−1 − 6t , 5 + 10t , −11 − 2t)
נציב (x , y , z) = (5 , −5 , −9) . מהרכיב x נמצא את t :
x: −1 − 6t = 5 ⟸ t = −1
נציב t = −1 ברכיבים y ו־z :
y: 5 + 10 · (−1) = −5 ✓
z: −11 − 2 · (−1) = −9 ✓
עבור t = −1 מתקבלת בדיוק הנקודה (5 , −5 , −9), ולכן היא נמצאת על הישר ℓ.
ישר ונקודה שעליו אינם קובעים מישור אחד: אפשר "לסובב" מישור סביב הישר, וכל מישור כזה מכיל גם את הנקודה. יש אינסוף מישורים כאלה.📐 מישור דרך ישר ונקודהישר ונקודה שאינה עליו קובעים מישור אחד בלבד. אם הנקודה על הישר – יש אינסוף מישורים המכילים אותם.
✅ פתרון סופי: הטענה לא נכונה – הנקודה על הישר, ויש אינסוף מישורים כאלה.
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | m = −5 |
| סעיף ג | A(2 , 0 , −10) |
| סעיף ד | לא נכונה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il