כניסה לשיעורים

7 פרקים
328 שיעורים
10 שבועות

פתח את כל הפרקיםסגור את כל הפרקים

שיעור 47- בגרות 2013 מועד חורף

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

פתרון בגרות חורף 2013: מרכז מעגל בעזרת משיק ⊥ רדיוס, משוואת המעגל, חיתוך עם ציר y, ישרים מקבילים ושטח משולש ישר זווית.

📝 השאלה

נתון מעגל שמרכזו M נמצא על הישר y=7. הישר y=12x משיק למעגל בנקודה A(6,3) (ראה ציור).
המעגל חותך את ציר ה־y בנקודות B ו־C. נקודה C נמצאת מעל נקודה B.

א(1). מצא את השיעורים של המרכז M.

א(2). מצא את משוואת המעגל.

ב(1). הראה כי הישר BM מקביל לישר המשיק למעגל בנקודה A.

ב(2). מצא את שטח המשולש BMA.

✏️ פתרון

🔵 סעיף א(1): מציאת שיעורי המרכז M בעזרת משיק מאונך לרדיוס

מצא את השיעורים של המרכז M.

y=7 ישר מקביל לציר x, לכן ה־y של M הוא 7: M(x,7)

הדרך: נמצא את משוואת AM ונציב בה y=7.

שיפוע המשיק 12. בין משיק לרדיוס יש 90° ← הופכי ונגדי:

m_MA=−2

A(6,3)=(x₁,y₁)

y−y₁=m(x−x₁)

y−3=−2(x−6)

y−3=−2x+12

y=−2x+15

מציבים y=7:

7=−2x+15

−8=−2x

x=4

תשובה: M(4,7)

🟢 סעיף א(2): משוואת המעגל – מציאת R² מהנקודה A

מצא את משוואת המעגל.

מציבים את המרכז (a,b)=(4,7) ואת הנקודה A(6,3) במשוואת המעגל:

(6−4)²+(3−7)²=R²

4+16=R²

R²=20

תשובה: (x−4)²+(y−7)²=20

🟣 סעיף ב(1): הוכחה שהישר BM מקביל למשיק בנקודה A

הראה כי הישר BM מקביל לישר המשיק למעגל בנקודה A.

ישרים מקבילים ← שיפועים שווים. צריך להראות ש־m_BM=12.

B על ציר y ← מציבים x=0 במשוואת המעגל:

(0−4)²+(y−7)²=20

16+(y−7)²=20

(y−7)²=4

y−7=2 ← y=9

y−7=−2 ← y=5

C מעל B, לכן B(0,5) , C(0,9).

m_BM=7−54−0=24=12

השיפוע שווה לשיפוע המשיק, ולכן הישרים מקבילים.

תשובה: m_BM=12 = שיפוע המשיק ← BM מקביל למשיק

🔷 סעיף ב(2): שטח המשולש BMA

מצא את שטח המשולש BMA.

BM ו־MA רדיוסים. בין הרדיוס MA למשיק יש 90°, ו־BM מקביל למשיק – לכן גם ∢BMA=90° (זוויות מתחלפות).

משולש ישר זווית: ניצב כפול ניצב חלקי 2.

S=BM·MA2=R²2

S=202=10

תשובה: S=10

💡 לזכור

משיק ⊥ רדיוס ← שיפוע הרדיוס הופכי ונגדי לשיפוע המשיק. ישרים מקבילים ← שיפועים שווים. חיתוך עם ציר y ← x=0, ושורש נותן שתי נקודות.

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות