מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 1: מהו וקטור – וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מהו וקטור – וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים
📄 נוסח השאלה
בסרטוט תיבה ABCDA′B′C′D′. אורכי המקצועות: AB = 4 , BC = 3 , AA′ = 12. הנקודה M היא אמצע המקצוע AB.
א. רשמו את כל הווקטורים השווים לווקטור AB שהתחלתם וסופם בקודקודי התיבה.
ב. רשמו את כל הווקטורים הנגדיים לווקטור AA′ שהתחלתם וסופם בקודקודי התיבה.
ג. האם הווקטורים AM ו־AB קולינאריים? הביעו את AM ואת MB באמצעות AB.
ד. חשבו את האורך של הווקטור AC ואת האורך של הווקטור AC′.
✏️ פתרון
סעיף א – וקטורים שווים
וקטור הוא קטע שיש לו כיוון: נקודת התחלה ונקודת סוף. מסמנים בקו מתחת לאותיות: AB (מ־A אל B).📐 וקטורים שוויםאותו כיוון ואותו אורך
בתיבה, כל המקצועות המקבילים ל־AB שווים לו באורך: A′B′ , DC , D′C′. בוחרים בכל אחד את הכיוון של AB (מהפאה ADD′A′ אל הפאה BCC′B′).
AB = A′B′
AB = DC
AB = D′C′
שימו לב: BA אינו שווה ל־AB – יש לו אותו אורך אבל כיוון הפוך.
✅ פתרון סופי: A′B′ , DC , D′C′
סעיף ב – וקטורים נגדיים
המקצועות המקבילים ל־AA′ הם BB′ , CC′ , DD′ (המקצועות הצדדיים). AA′ הולך "למעלה", ולכן הנגדיים הולכים "למטה":📐 וקטורים נגדייםאותו אורך וכיוון הפוךYX = −XY
A′A = −AA′
B′B = −AA′
C′C = −AA′
D′D = −AA′
✅ פתרון סופי: A′A , B′B , C′C , D′D
סעיף ג – וקטורים קולינאריים
הווקטורים AM ו־AB נמצאים על אותו ישר (הישר AB), ולכן הם קולינאריים.📐 וקטורים קולינארייםנמצאים על אותו ישר או על ישרים מקביליםa = k · b
M אמצע AB, ולכן AM הוא חצי מ־AB, ובאותו כיוון:
AM = 12AB📐 אמצע קטע (M אמצע AB)AM = MB = 12AB
גם MB באותו כיוון ובאותו אורך כמו AM:
MB = 12AB
✅ פתרון סופי: כן, AM = 12AB , MB = 12AB
סעיף ד – אורכי וקטורים
האורך של AC: המשולש ABC ישר־זווית ב־B (בסיס התיבה הוא מלבן).
AC2 = AB2 + BC2 📐 משפט פיתגורס (c – היתר)c2 = a2 + b2
נציב AB = 4 , BC = 3:
AC2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25
|AC| = √25 = 5
האורך של AC′: המקצוע CC′ מאונך לבסיס, ולכן הוא מאונך ל־AC. המשולש ACC′ ישר־זווית ב־C, ו־CC′ = AA′ = 12.
AC′2 = AC2 + CC′2 📐 משפט פיתגורס (c – היתר)c2 = a2 + b2
נציב AC = 5 , CC′ = 12:
AC′2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169
|AC′| = √169 = 13
✅ פתרון סופי: |AC| = 5 , |AC′| = 13
📌 סיכום
| סעיף א | A′B′ , DC , D′C′ |
|---|---|
| סעיף ב | A′A , B′B , C′C , D′D |
| סעיף ג | כן, AM = MB = 12AB |
| סעיף ד | 5 , 13 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il