שיעור 24 – פתרון בגרות 5 יחידות חורף 2012 – משקל העץ בשני יערות

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 5 יחידות · שאלון 035807 · חורף 2012 · שאלה 5
משקל העץ בשני יערות – גדילה, השוואה וההפרש הגדול ביותר

📄 נוסח השאלה

שאלה 5

משקל העץ בשני יערות, יער I ויער II , גדל עם הזמן לפי פונקציות מעריכיות f(x) = N₀ · a^x ו־g(x) = M₀ · b^x בהתאמה.

העצים בשני היערות ניטעו באותו תאריך.

ביום הנטיעה היו ביער I 10,000 טון עץ, וכעבור שנה היו בו 15,000 טון עץ.

ביום הנטיעה היו ביער II 40,000 טון עץ, וכעבור שנה היו בו 45,000 טון עץ.

א. מצא את הפונקציה f(x) ואת הפונקציה g(x) .

ב. מצא כעבור כמה זמן מיום הנטיעה יהיה משקל העץ ביער I גדול ממשקל העץ ביער II .

ג. סרטט בקו מלא סקיצה של גרף הפונקציה f(x) , ובקו מרוסק סקיצה של גרף הפונקציה g(x) , החל מיום הנטיעה. ציין מספרים על הצירים.

ד. כעבור כמה זמן מיום הנטיעה ההפרש בין משקל העץ ביער II למשקל העץ ביער I יהיה הגדול ביותר?

בתשובותיך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

✏️ פתרון

סעיף א – מוצאים את הפונקציות

יער I – ביום הנטיעה x = 0 . נכתוב את הפונקציה ונסמן את מה שנציב:

f(0) = N₀ · a⁰ = 10000

a⁰ = 1📐 חזקה עם מעריך 0a⁰ = 1

N₀ = 10000

כעבור שנה – נציב x = 1 ו־f(1) = 15000 :

10000 · a¹ = 15000

a = 1500010000 = 1.5

f(x) = 10000 · 1.5^x

יער II – באותה דרך: g(0) = M₀ = 40000 .

נציב x = 1 ו־g(1) = 45000 :

40000 · b¹ = 45000

b = 4500040000 = 1.125

g(x) = 40000 · 1.125^x

✅ פתרון סופי: f(x) = 10000 · 1.5^x , g(x) = 40000 · 1.125^x

סעיף ב – מתי יער I עובר את יער II

משקל העץ ביער I גדול ממשקל העץ ביער II כאשר:

f(x) > g(x)

נציב את שתי הפונקציות:

10000 · 1.5^x > 40000 · 1.125^x

נחלק את שני האגפים ב־10000 · 1.125^x (מספר חיובי, ולכן סימן אי־השוויון לא משתנה):

1.5^x1.125^x > 4📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךaⁿbⁿ = (ab)ⁿ

(1.51.125)^x > 4

(43)^x > 4

קודם נמצא מתי יש שוויון. הנעלם בחזקה:

(43)^x = 4 ⇒ x = ln 4ln 43📐 כשהנעלם בחזקהa^x = b ⇒ x = ln bln a

x = 1.386290.28768 ≈ 4.82

הבסיס 43 גדול מ־1, ולכן (43)^x עולה – אחרי נקודת השוויון הוא גדול מ־4:

x > 4.82

✅ פתרון סופי: כעבור יותר מ־4.82 שנים

סעיף ג – סקיצה של שני הגרפים

שתי הפונקציות עולות (הבסיסים 1.5 ו־1.125 גדולים מ־1). f(x) מתחילה ב־(0 , 10000) ו־g(x) מתחילה ב־(0 , 40000) .

נקודת החיתוך: x ≈ 4.82 (מסעיף ב). נציב ב־f(x) :

(מציבים את הערך המדויק של x שנשמר במחשבון)

y = 10000 · 1.5^4.82 ≈ 70,559.57

לפני x = 4.82 הגרף של g(x) מעל הגרף של f(x) , ואחריו מתחת.

הסקיצה – f(x) בקו מלא (בכחול), g(x) בקו מרוסק (בסגול):

✅ פתרון סופי: הגרפים נחתכים ב־(4.82 , 70,559.57)

סעיף ד – מתי ההפרש הכי גדול

ההפרש בין משקל העץ ביער II למשקל העץ ביער I:

h(x) = g(x) − f(x)

נציב את שתי הפונקציות:

h(x) = 40000 · 1.125^x − 10000 · 1.5^x

מחפשים את המקסימום של h(x) בתחום x ≥ 0 , ולכן גוזרים. כדי לגזור חזקה של 1.125 ושל 1.5 נכתוב אותן בעזרת e :

1.125^x = e^{x · ln 1.125}📐 בסיס כלשהו בעזרת ea^x = e^{x · ln a}

(1.125^x)′ = ln 1.125 · 1.125^x📐 נגזרת של e בחזקת kx(e^kx)′ = k · e^kx

באותה דרך (1.5^x)′ = ln 1.5 · 1.5^x . לכן:

h′(x) = 40000 · ln 1.125 · 1.125^x − 10000 · ln 1.5 · 1.5^x

משווים את הנגזרת ל־0:

40000 · ln 1.125 · 1.125^x = 10000 · ln 1.5 · 1.5^x

נחלק את שני האגפים ב־10000 · ln 1.5 · 1.125^x :

(1.51.125)^x = 4 · ln 1.125ln 1.5

(43)^x ≈ 1.16196

x = ln 1.16196ln 43📐 כשהנעלם בחזקהa^x = b ⇒ x = ln bln a

x = 0.150110.28768 ≈ 0.52

סוג הנקודה – נציב בנגזרת ערך לפני ואחרי:

h′(0) = 40000 · 0.1178 − 10000 · 0.4055 ≈ 657 > 0

h′(1) = 40000 · 0.1178 · 1.125 − 10000 · 0.4055 · 1.5 ≈ −782 < 0

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית – ב־x ≈ 0.52 יש מקסימום, וזה המקסימום היחיד בתחום.

✅ פתרון סופי: כעבור 0.52 שנים בקירוב

📌 סיכום

סעיף א	f(x) = 10000 · 1.5^x g(x) = 40000 · 1.125^x
סעיף ב	כעבור יותר מ־4.82 שנים
סעיף ג	חיתוך ב־(4.82 , 70,559.57)
סעיף ד	כעבור 0.52 שנים

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים