מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 36: מרחקים ממישור – נקודה, מישור מקביל וישר מקביל
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מרחקים ממישור – נקודה, מישור מקביל וישר מקביל
📄 נוסח השאלה
נתון המישור π: 2x − y + 2z − 5 = 0.
א. מצאו את המרחק של הנקודה P(3 , 1 , 4) מהמישור.
ב. הראו שהמישור π2: 4x − 2y + 4z + 8 = 0 מקביל ל־π, ומצאו את המרחק בין שני המישורים.
ג. הראו שהישר ℓ: x = (1 , 1 , 1) + t(1 , 2 , 0) מקביל למישור π, ומצאו את המרחק בין הישר למישור.
ד. מצאו את הנקודות על ציר z שהמרחק שלהן מהמישור π הוא 3.
✏️ פתרון
סעיף א – מרחק נקודה ממישור
מרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2📐 מרחק נקודה ממישורמרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2
נציב a = 2 , b = −1 , c = 2 , d = −5 , P(3 , 1 , 4):
מרחק = |2 · 3 − 1 + 2 · 4 − 5|√22 + (−1)2 + 22
מרחק = |6 − 1 + 8 − 5|√9 = 83 ≈ 2.67
✅ פתרון סופי: המרחק 83 ≈ 2.67
סעיף ב – מרחק בין מישורים מקבילים
n2 = (4 , −2 , 4) = 2 · (2 , −1 , 2)📐 מצב הדדי בין שני מישוריםנורמלים קולינאריים: מקבילים או מתלכדיםלא קולינאריים: נחתכים בישר
הנורמלים קולינאריים – המישורים מקבילים (או מתלכדים). נחלק את משוואת π2 ב־2, כדי לקבל אותם מקדמים:
2x − y + 2z + 4 = 0
המספר החופשי 4 ולא −5 – המישורים מקבילים ולא מתלכדים.
מרחק = |d1 − d2|√a2 + b2 + c2📐 מרחק בין מישורים מקביליםמרחק = |d1 − d2|√a2 + b2 + c2אותם מקדמים a , b , c בשתי המשוואות
נציב d1 = −5 , d2 = 4 , a = 2 , b = −1 , c = 2:
מרחק = |−5 − 4|√22 + (−1)2 + 22 = 93 = 3
✅ פתרון סופי: המישורים מקבילים, המרחק 3
סעיף ג – מרחק בין ישר ומישור מקבילים
n · u = (2 , −1 , 2) · (1 , 2 , 0) = 2 − 2 + 0 = 0📐 מצב הדדי בין ישר ומישורn · u ≠ 0 – נחתכיםn · u = 0 – מקביל או מוכל
הישר מקביל למישור או מוכל בו. נציב את הנקודה (1 , 1 , 1) של הישר במשוואת המישור:
2x − y + 2z − 5📐 נקודה על מישורשיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המישור
נציב x = 1 , y = 1 , z = 1:
2 · 1 − 1 + 2 · 1 − 5 = −2
התוצאה לא 0 – הישר מקביל למישור (לא מוכל). כל נקודות הישר באותו מרחק מהמישור, לכן מחשבים את המרחק של (1 , 1 , 1):
מרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2📐 מרחק נקודה ממישורמרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2
נציב x1 = 1 , y1 = 1 , z1 = 1:
מרחק = |2 · 1 − 1 + 2 · 1 − 5|3 = 23 ≈ 0.67
✅ פתרון סופי: המרחק 23 ≈ 0.67
סעיף ד – נקודות במרחק נתון
נקודה על ציר z היא מהצורה (0 , 0 , z).
מרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2📐 מרחק נקודה ממישורמרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2
נציב x1 = 0 , y1 = 0 , z1 = z , מרחק = 3:
3 = |2 · 0 − 0 + 2z − 5|3
|2z − 5| = 9
2z − 5 = 9
z = 7
2z − 5 = −9
z = −2
✅ פתרון סופי: (0 , 0 , 7) , (0 , 0 , −2)
📌 סיכום
| סעיף א | 83 ≈ 2.67 |
|---|---|
| סעיף ב | מקבילים, מרחק 3 |
| סעיף ג | מקביל, מרחק 23 ≈ 0.67 |
| סעיף ד | (0 , 0 , 7) , (0 , 0 , −2) |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il